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Chapitre 1 Déterminant d'une matrice

À en croire cette page Wikipédia, le Japonais Seki Kowa fut le premier à introduire des déterminants de taille 3 et 4.

Le Japonais Seki Kowa.
Figure 1.0.1. Image de Seki Kowa dans le domaine public.

Plus récemment, l'Anglais Tim Gowers a enregistré ses réflexions sur le déterminant des matrices de Pascal symétriques dans une série de trois vidéos dont voici la dernière :

Figure 1.0.2. Tim Gowers - Pascal's determinant III.

Section 1.1 Théorie

Définition 1.1.2.

Une matrice carrée \(A\) de taille \(n\times n\) est dite inversible s'il existe une matrice carrée \(B\) de même taille telle que

\begin{equation*} AB=BA=\mathrm{I}_n. \end{equation*}

Soit \(A\) une matrice \(n\times n\) inversible et \(B\) sa matrice inverse, de sorte que

\begin{equation*} AB=BA=\mathrm{I}_n. \end{equation*}

Raisonnons par l'absurde et supposons que \(\det(A)\) soit nul. On a alors

\begin{align*} 0&=0\times\det(B)\\ &=\det(A)\times\det(B)\\ &=\det(AB)\\ &=\det(\mathrm{I}_n)\\ &=1\times\cdots\times 1\\ &=1. \end{align*}

Il découle de cette contradiction que le nombre \(\det(A)\) n'est pas nul.

Je vous laisse le soin de démontrer la réciproque.

Section 1.2 Calcul

Voici comment calculer le déterminant de la matrice

\begin{equation*} \begin{bmatrix}5&3&1\\0&-7&5\\-8&9&0\end{bmatrix} \end{equation*}

à l'aide de la fonction det du module linalg de NumPy :

Et voilà comment faire la même chose avec Sage :

Le code suivant vous permet de vérifier une propriété du déterminant. Laquelle ?

Section 1.3 Exercices

On s'intéresse à la matrice

\begin{equation*} A:=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}. \end{equation*}
  1. Calculez le déterminant de \(A\text{.}\)
  2. Déduisez-en le déterminant de \(A^5\text{.}\)
Indication

Vous n'avez pas besoin de connaître le théorème 1.1.3. En revanche, la proposition 1.1.1 pourrait vous être utile.

Réponse
  1. \(-2\text{.}\)
  2. \(-32\text{.}\)
Solution
  1. Grâce à la règle de calcul d'un déterminant \(2\times 2\text{,}\) on a
    \begin{equation*} \det(A)=1\times 4-2\times 3=-2. \end{equation*}
  2. Par multiplicativité du déterminant, on a
    \begin{equation*} \det(A^5)=\left(\det(A)\right)^5=(-2)^5=-32. \end{equation*}