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Section 3.4 Intégration par parties

Intégrez par partie pour calculer les intégrales indéfinies suivantes. Attention: il se peut que vous ayez à utiliser plusieurs intégrations par partie.

  1. \(\displaystyle\int\ln x\;dx\)

  2. \(\displaystyle\int\arcsin w\;dw\)

  3. \(\displaystyle\int t^2e^t\;dt\)

  4. \(\displaystyle\int e^x\sin x\;dx\)

  5. \(\displaystyle\int u\cos(5u)\;du\)

  6. \(\displaystyle\int\arctan(3x)\;dx\)

  7. \(\displaystyle\int\cos\theta\,\ln(\sin\theta)\;d\theta\)

  8. \(\displaystyle\int\left(s^5+2s\right)e^{2s}\;ds\)

  9. \(\displaystyle\int e^{3\theta}\cos\left(2\theta\right)\;d\theta\)

  10. \(\displaystyle\int x^3\cos\left(x^2\right)\;dx\)

Réponse

  1. \(\displaystyle x\ln(x)-x+C\)

  2. \(\displaystyle w\arcsin w+\sqrt{1-w^2}+C\)

  3. \(\displaystyle t^2e^t-2te^t+2e^t+C\)

  4. \(\displaystyle\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\)

  5. \(\displaystyle\frac{1}{5}u\sin(5u)+\frac{1}{25}\cos(5u)+C\)

  6. \(\displaystyle x\arctan(3x)-\frac{1}{6}\ln|9x^2+1|+C\)

  7. \(\displaystyle\left(\ln(\sin\theta)-1\right)\sin\theta+C\)

  8. \(\displaystyle\frac{e^{2s}}{8}(4s^5-10s^4+20s^3-30s^2+38s-19)+C\)

  9. \(\displaystyle\frac{3e^{3\theta}\cos\left(2\theta\right)}{13}+\frac{2e^{3\theta}\sin\left(2\theta\right)}{13}+C\)

  10. \(\displaystyle\frac{x^2\sin\left(x^2\right)}{2}+\frac{\cos\left(x^2\right)}{2}+C\)

Calculez les intégrales indéfinies suivantes.

  1. \(\displaystyle\int x^4\ln\left(x^3\right)\;dx\)

  2. \(\displaystyle\int\frac{\cos(5t)}{e^{7t}}\;dt\)

Réponse

  1. \(\displaystyle\frac{3}{5}x^5\ln(x)-\frac{3}{25}x^5+C\)

  2. \(\displaystyle\frac{5\sin(5t)-7\cos(5t)}{74e^{7t}}+C\)

Calculez l'intégrale définie \(\displaystyle\int_4^9\frac{\ln y}{\sqrt{y}}\,dy\) à l'aide d'une intégration par parties.

Réponse

\(\displaystyle 6\ln(9)-4\ln(4)-4\)

Utilisez l'intégration par parties pour obtenir la formule de réduction.

  1. \(\displaystyle\int x^n\sin ax\;dx=-\frac{1}{a}x^n\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\;dx\;dx\)

  2. \(\displaystyle\int\cos^nx\;dx=\frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}x\;dx\)