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Section 4.3 Séries de puissances

Déterminez le rayon et l'intervalle de convergence des séries de puissances suivantes.

  1. \(\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{x^k}{k+1}\text{.}\)

  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(2x+5)^k}{k!}\text{.}\)

  3. \(\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}\frac{(2x-5)^k}{k^2}\text{.}\)

  4. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}k!(2x+5)^k\text{.}\)

  5. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(2x-5)^k}{3^k}\text{.}\)

  6. \(\displaystyle\sum_{k=15}^{+\infty}\frac{(x-7)^k}{\sqrt{k}}\text{.}\)

  7. \(\displaystyle\sum_{k=23}^{+\infty}\frac{(x+7)^k}{k^5+1}\text{.}\)

Réponse

  1. \(\displaystyle r=1\) et \(\displaystyle I=[-1\;,\;1[\text{.}\)

  2. \(\displaystyle r=\infty\) et \(\displaystyle \mathbb{R}\text{.}\)

  3. \(\displaystyle r=1/2\) et \(\displaystyle I=[2\;,\;3]\text{.}\)

  4. \(\displaystyle r=0\) et \(\displaystyle I=\left\{-5/2\right\}\text{.}\)

  5. \(\displaystyle r=3/2\) et \(\displaystyle I=]1\;,\;4[\text{.}\)

  6. \(\displaystyle r=1\) et \(\displaystyle I=[6\;,\;8]\text{.}\)

  7. \(\displaystyle r=1\) et \(\displaystyle I=[-8\;,\;-6]\text{.}\)