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Section 4.4 Séries de Taylor et de Maclaurin

Soit \(f(x)=\sqrt{x}\text{.}\)

  1. À l'aide de la formule de Taylor, donnez les trois premiers termes et le reste du développement de Taylor de \(f\) autour de \(a=1\text{.}\)

  2. Utilisez la question précédente pour donner une approximation de \(\sqrt{1,1}\text{.}\)

Réponse

  1. \(\displaystyle\sqrt{x}=1+\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{8}+\frac{(x-1)^3}{16c^{5/2}}\)

  2. \(\displaystyle\sqrt{1,1}\approx 1+\frac{0,1}{2}-\frac{(0,1)^2}{8}=\frac{839}{800}=1,04875\)

Donnez le développement indiqué pour la fonction \(g(x)=\sin(x)\text{.}\)

  1. développement en série de Maclaurin;

  2. développement en série de Taylor autour de \(a=\pi\text{;}\)

  3. développement en série de Taylor autour de \(a=\displaystyle\frac{\pi}{3}\text{.}\)

Réponse

  1. \(\displaystyle x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\)

  2. \(\displaystyle\pi-x+\frac{(x-\pi)^3}{6}-\frac{(x-\pi)^5}{120}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\)

  3. \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2}{2}-\frac{1}{2}\frac{\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^4}{24}+\cdots\)

    \(\displaystyle\cdots+(-1)^n\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^{2n}}{(2n)!}+(-1)^n\frac{1}{2}\frac{\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\)