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Section 2.3 Différentielle

En utilisant la différentielle, calculez approximativement :

  1. \(\displaystyle \sqrt{51}\) sachant que \(\displaystyle \sqrt{49}=7\text{;}\)

  2. \(\displaystyle \sqrt{48}\) sachant que \(\displaystyle \sqrt{49}=7\text{;}\)

  3. \(\displaystyle \sin(0,1)\) sachant que \(\displaystyle \sin(0)=0\text{;}\)

  4. \(\displaystyle \arctan(1,05)\) sachant que \(\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\text{;}\)

  5. \(\displaystyle \ln{0,98}\) sachant que \(\displaystyle \ln(1)=0\text{.}\)

Réponse

Évaluez :

  1. \(\displaystyle \sqrt{51}\approx \sqrt{49}+\frac{1}{2\sqrt{49}}\cdot 2=\frac{50}{7}\)

  2. \(\displaystyle \sqrt{48}\approx \sqrt{49}+\frac{1}{2\sqrt{49}}\cdot (-1)=\frac{97}{14}\)

  3. \(\displaystyle \sin(0,1)\approx \sin(0)+\cos(0)\cdot 0,1=0,1\)

  4. \(\displaystyle \arctan(1,05)\approx \arctan(1)+\frac{1}{1+1^2}\cdot 0,05=\frac{\pi}{4}+0,025\)

  5. \(\displaystyle \ln(0,98)\approx \ln(1)+\frac{1}{1}\cdot (-0,02)=-0,02\)

Utilisez la différentielle pour déterminer approximativement la précision nécessaire dans la mesure de l'hypoténuse d'un carré pour que l'aire obtenue soit de \(50\,\pm\) 0,1 cm2.

Réponse

\(10\,\pm\) 0,01 cm.