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Déterminez la famille de toutes les primitives de la fonction donnée.

1. \(\displaystyle \displaystyle x^{7/3}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle\cos(9x)\)
3. \(\displaystyle \displaystyle\sin\left(\frac{x}{5}\right)\)
4. \(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{\sqrt[7]{x^3}}\)
5. \(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{e^{4x}}\)
6. \(\displaystyle \displaystyle\sec^2(3x)\)
7. \(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{7}\right)}\)
8. \(\displaystyle \displaystyle\frac{\sin(8x)}{\cos^2(8x)}\)

Vérifiez que la fonction \(F(x)\) est une primitive de la fonction \(f(x)\text{,}\) puis évaluez l'intégrale demandée en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral.

1. \(\displaystyle F(x)=x\ln(x)-x\text{,}\) \(\displaystyle f(x)=\ln(x)\text{,}\) \(\displaystyle I=\int_e^{e^2}\ln(x)dx\)
2. \(\displaystyle F(x)=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}\text{,}\) \(\displaystyle f(x)=\cos^2(x)\text{,}\) \(\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos^2(x)dx\)
3. \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right)\text{,}\) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+9}\text{,}\) \(\displaystyle I=\int_0^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{x^2+9}dx\)
4. \(\displaystyle F(x)=\frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}\text{,}\) \(\displaystyle f(x)=\sqrt{9-x^2}\text{,}\) \(\displaystyle I=\int_0^3\sqrt{9-x^2}dx\)
5. \(\displaystyle F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-9}\right)\text{,}\) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}\text{,}\) \(\displaystyle I=\int_3^5\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}dx\)

Sachant que \(\displaystyle\int_1^5f(x)\;dx=7\text{,}\) \(\displaystyle\int_0^1f(x)\;dx=-4\text{,}\) \(\displaystyle\int_5^7f(x)\;dx=0\) et \(\displaystyle\int_5^7g(x)\;dx=-2\text{,}\) utilisez les propriétés de l'intégrale définie pour évaluer les intégrales suivantes.

1. \(\displaystyle\int_5^1f(x)\;dx\)

2. \(\displaystyle\int_0^5f(x)\;dx\)

3. \(\displaystyle\int_7^0f(x)\;dx\)

4. \(\displaystyle\int_7^54g(x)\;dx\)

5. \(\displaystyle\int_5^7(3f(x)-9g(x))\;dx\)