Mon p'tit WebCAM

Déterminez si les séries suivantes convergent ou divergent. Calculez la somme de celles qui convergent.

1. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3}{4^n}\text{.}\)

2. \(\displaystyle\sum_{n=15}^{+\infty}\frac{3}{4n}\text{.}\)

3. \(\displaystyle\frac{1}{300}+\frac{1}{303}+\frac{1}{306}+\frac{1}{309}+\frac{1}{312}+\frac{1}{315}+\cdots\text{.}\)

4. \(\displaystyle\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{7^j}{8^{j-1}}\text{.}\)

5. \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \left( \frac{e}{2}\right)^n\text{.}\)

6. \(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots\text{.}\)

En utilisant les résultats suivants: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}\)\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}=\cos(1)\)\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e\) déterminez si les séries suivantes convergent ou divergent. Si c'est possible, donnez leur somme.

1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{7}{n!}\text{.}\)

2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{n^4}+\frac{(-1)^n}{3(2n)!}\right)\text{.}\)

3. \(\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\text{.}\)

4. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\text{.}\)

5. \(\displaystyle\sum_{n=5}^{+\infty}\frac{1}{(n-4)!}\text{.}\)