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Section 5.5 Théorèmes d'analyse

Déterminez toutes les valeurs de \(c\) appartenant à l'intervalle indiqué qui vérifient les conclusions du théorème de Lagrange pour la fonction donnée.

  1. \(\displaystyle f(x)=x^2-3\) sur \([-2;1]\)
  2. \(\displaystyle g(x)=x^3-3x^2+3x+2\) sur \([-3;3]\)
  3. \(\displaystyle h(x)=3x+\frac{4}{x}\) sur \([1;4]\)
  4. \(\displaystyle f(t)=5+\sqrt[3]{t^2}\) sur \([1;8]\)
Solution
  1. \(\displaystyle \displaystyle c=-\frac{1}{2}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle c=-1\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle c=2\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle c=\left(\frac{14}{9}\right)^3\)

Utilisez le théorème de Lagrange pour démontrer l'inégalité suivante :

\begin{equation*} |\sin(x)|\leq |x| \qquad \forall x\in\mathbb{R} \end{equation*}
Solution

Pour \(x=0\text{,}\) l'inégalité est satisfaite car \(|\sin 0|=|0|\leq |0|\text{.}\)

Prenons maintenant \(x\) positif. Comme la fonction sinus est dérivable (de dérivée la fonction cosinus) donc continue sur \(\mathbb{R}\text{,}\) elle est

  • continue sur \([0\,;\,x],\)
  • et dérivable sur \(]0\,;\,x[\text{.}\)

Elle vérifie donc les conditions d'application du théoème de Lagrange sur l'intervalle \([0\,;\,x],\text{.}\) On en déduit qu'il existe \(c\in]0\,;\,x[\) tel que

\begin{equation*} \frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(c)\qquad\mbox{d'où}\quad\frac{\sin(x)}{x}=\cos(c) \end{equation*}

Comme l'image du cosinus est l'intervalle \([-1\,;\,1]\text{,}\) on a \(-1\leq\cos(c)\leq 1\text{.}\) Donc \(|\cos(c)|\leq 1\) et finalement

\begin{equation*} \frac{|\sin x|}{|x|}=|\cos(c)|\leq 1\qquad\mbox{d'où}\quad |\sin(x)|\leq |x| \end{equation*}

Pour \(x\) négatif, un raisonnement analogue sur l'intervalle \([x\,;\,0]\) conduit à la même inégalité.

Utilisez le théorème de Lagrange pour démontrer l'inégalité suivante :

\begin{equation*} e^x\geq x+1 \qquad \forall x\in[0\,;\,+\infty[ \end{equation*}
Indication

Utilisez la fonction adéquate sur l'intervalle \([0\,;\,x]\text{.}\)

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;\,b]\text{.}\) Montrez que les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

  1. La fonction \(f\) est constante sur \([a\,;\,b]\)
  2. La fonction \(f\) est dérivable de dérivée nulle sur \([a\,;\,b]\)
Indication

Une des implications découle directement de la définition de la dérivée, l'autre du théorème de Lagrange.

Démontrez la formule suivante :

\begin{equation*} \arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\qquad\forall x\in]0\,;\,+\infty[ \end{equation*}
Indication

Calculez la dérivée du membre de gauche.

Jean fait un test d'accélération avec son nouveau véhicule. Il part arrêté et se déplace en ligne droite. La distance qu'il parcourt, en fonction du temps \(t\) écoulé en secondes, est donnée par \(\displaystyle d(t)=\frac{t^4}{100}\) mètres.

  1. Quelle est sa vitesse moyenne entre 0 et 10 secondes?
  2. Au bout de combien de temps sa vitesse instantanée dépasse-t-elle cette vitesse moyenne?
  3. Quel est le théorème qui nous assure que la question précédente admet une réponse?
Réponse
  1. 10 m⁄s
  2. \(\approx\)6,3 s
  3. Le théorème de Lagrange.