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Section 5.6 Défis

On considère la suite de terme général \(\displaystyle a_n\) définie comme suit :

\begin{equation*} a_0=1\qquad\mbox{et}\qquad\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+3}{n+5}\quad \forall n\in\mathbb{N} \end{equation*}

  1. Montrez que la série de terme général \(\displaystyle a_n\) est convergente.

  2. Montrez que la somme de cette série vaut \(\displaystyle 4\text{.}\)

  3. Plus généralement, on remplace \(3\) et \(5\) par \(u\) et \(v\) dans la définition par récurrence de la suite de terme général \(a_n\) :

    \begin{equation*} a_0=1\qquad\mbox{et}\qquad\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+u}{n+v}\quad \forall n\in\mathbb{N} \end{equation*}

    Montrez que la série \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\) converge si et seulement si \(v>u+1\text{.}\)

  4. Calculez la somme de la série dans ce cas.

Solution

  1. à venir

  2. à venir

  3. à venir

  4. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=\frac{v-1}{v-u-1}\)

Le but de cet exercice est de calculer la somme de la série suivante :

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(4n^2-1)} \end{equation*}

On note

\begin{equation*} a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n \end{equation*}

et

\begin{equation*} b_n=\frac{1}{n(4n^2-1)} \end{equation*}

  1. Montrez que la série de terme général \(\displaystyle a_n-a_{n-1}\) est convergente.

  2. Montrez que la suite de terme général \(\displaystyle a_n\) est convergente.

  3. Calculez la somme de la série de terme \(\displaystyle b_n\text{.}\)

Indication

  1. Comparez cette série avec \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}\) à l'aide du critère de comparaison par une limite.

  2. Notez \(\displaystyle a_0\) et observez qu'on a \(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k-a_{k-1}=a_n\text{.}\)

  3. Décomposez d'abord la fraction \(\displaystyle b_n\) en somme de fractions partielles. Utilisez ensuite l'identité \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=a_n+\ln n\) afin d'exprimer la somme partielle \(\sum_{k=1}^nb_k\) en fonction de \(\displaystyle c_n\) et \(\displaystyle c_{2n}\text{.}\) Enfin, faites tendre \(n\) vers l'infini.

Réponse
\begin{equation*} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1 \end{equation*}