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Section 3.6 Substitutions trigonométriques

Utilisez la substitution trigonométrique appropriée pour évaluer les intégrales indéfinies suivantes.

  1. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}\;dx\)

  2. \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}\;dx\)

  3. \(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x^2-7}}\;dx\)

  4. \(\displaystyle\int\sqrt{2-3x^2}\;dx\)

  5. \(\displaystyle\int\frac{1}{x^5\sqrt{9x^2-1}}\;dx\)

  6. \(\displaystyle\int\frac{1}{(x^2+1)^2}\;dx\)

Réponse

  1. \(\displaystyle-\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}-\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+C\)

  2. \(\displaystyle-\frac{\sqrt{x^2+4}}{4x}+C\)

  3. \(\displaystyle\sqrt{x^2-7}+C\)

  4. \(\displaystyle\frac{x\sqrt{2-3x^2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}x}{2}\right)+C\)

  5. \(\displaystyle\frac{243}{8}\mathrm{arcsec}(3x)+\frac{27}{8}\frac{\sqrt{9x^2-1}}{x^2}+\frac{\sqrt{9x^2-1}}{4x^4}+C\)

  6. \(\displaystyle\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\arctan(x)+C\)

Utilisez la substitution trigonométrique appropriée pour évaluer les intégrales indéfinies suivantes.

  1. \(\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}\;dx\)

  2. \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{9-x^2}}\;dx\)

  3. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{9-4x^2}}{x}\;dx\)

Réponse

  1. \(\displaystyle\frac{x\sqrt{x^2-4}}{2}+2\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C\)

  2. \(\displaystyle-\frac{x}{9\sqrt{9-x^2}}+C\)

  3. \(\displaystyle 3\ln\left|\frac{\sqrt{9-4x^2}-3}{x}\right|+\sqrt{9-4x^2}+C\)

Calculez l'intégrale indéfinie suivante :

\begin{equation*} \displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}\;dx \end{equation*}
Réponse

\(\displaystyle-\sqrt{3-2x-x^2}-\arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)+C\)