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Appendice A Approximations et erreurs

Une méthode de calcul numérique permet souvent d'obtenir des approximations.

La fonction \(f(x)=e^{-x^2}\) n'admet aucune primitive qui puisse s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles.

On a donc besoin de méthodes numériques pour estimer la valeur d'intégrales telles que

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\,\mathrm{d}x. \end{equation*}

Par exemple, lorsqu'on subdivise l'intervalle d'intégration \([0;1]\) en quatre sous-intervalles de même longueur, la méthode des rectangles à gauche fournit l'approximation qui suit.

\begin{align*} \text{Approximation}&=e^{-0^2}\cdot 0{,}25+e^{-0{,}25^2}\cdot 0{,}25+e^{-0{,}5^2}\cdot 0{,}25+e^{-0{,}75^2}\cdot 0{,}25\\ &=0{,}821\,999\,167\ldots \end{align*}

Qu'avons-nous appris sur la valeur exacte de cette intégrale?

Grâce au critère des séries alternées, on sait que la série suivante est convergente.

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{4}{2n+1}=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\cdots \end{equation*}

Ses sommes partielles fournissent donc des approximations de la valeur de sa somme.

Par exemple, en sommant les cinq premiers termes, on obtient l'approximation qui suit.

\begin{align*} \text{Approximation}&=\sum_{n=0}^4(-1)^n\frac{4}{2n+1}\\ &=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}\\ &=3{,}339\,682\,539\ldots \end{align*}

Qu'avons-nous appris sur la valeur exacte de la somme de cette série?

La réponse à la question soulevée dans chacun des exemples ci-dessus est la même : RIEN.

Quand on effectue une approximation, on commet une erreur :

\begin{equation*} \text{Erreur}=\text{Valeur exacte}-\text{Approximation}. \end{equation*}

Autrement dit, on a

\begin{equation*} \text{Valeur exacte}=\text{Approximation}+\text{Erreur}. \end{equation*}

Une approximation toute seule ne veut rien dire tant qu'on ne dispose pas d'une estimation de l'erreur commise.