Section A.1 Erreur et erreur relative
Rappelons notre convention :
\begin{equation*}
\text{Erreur}=\text{Valeur exacte}-\text{Approximation}.
\end{equation*}
Dans ce contexte, on définit l'erreur relative comme suit :
\begin{equation*}
\text{Erreur relative}=\frac{\text{Erreur}}{\left|\text{Valeur exacte}\right|}\times 100\;\%.
\end{equation*}
Exemple A.1.1.
Supposons qu'on s'intéresse à une intégrale dont la valeur exacte est
\begin{equation*}
\text{Valeur exacte}=12{,}5
\end{equation*}
et qu'à l'aide d'une méthode numérique, on obtienne l'approximation suivante :
\begin{equation*}
\text{Approximation}=12{,}4.
\end{equation*}
Alors l'erreur vaut
\begin{align*}
\text{Erreur}&=\text{Valeur exacte}-\text{Approximation}\\
&=12{,}5-12{,}4\\
&=0{,}1
\end{align*}
tandis que l'erreur relative représente
\begin{align*}
\text{Erreur relative}&=\frac{\text{Erreur}}{\left|\text{Valeur exacte}\right|}\times 100\;\%\\
&=\frac{0{,}1}{12{,}5}\times 100\;\%\\
&=0{,}8\;\%
\end{align*}
de la valeur exacte.
Exemple A.1.2.
Supposons qu'on s'intéresse à une intégrale dont la valeur exacte est
\begin{equation*}
\text{Valeur exacte}=0{,}5
\end{equation*}
et qu'à l'aide d'une méthode numérique, on obtienne l'approximation suivante :
\begin{equation*}
\text{Approximation}=0{,}4.
\end{equation*}
Alors l'erreur vaut
\begin{align*}
\text{Erreur}&=\text{Valeur exacte}-\text{Approximation}\\
&=0{,}5-0{,}4\\
&=0{,}1
\end{align*}
tandis que l'erreur relative représente
\begin{align*}
\text{Erreur relative}&=\frac{\text{Erreur}}{\left|\text{Valeur exacte}\right|}\times 100\;\%\\
&=\frac{0{,}1}{0{,}5}\times 100\;\%\\
&=20\;\%
\end{align*}
de la valeur exacte.
Comme le montrent les deux exemples qui précèdent, seule l'erreur relative nous informe vraiment de la gravité de l'erreur commise.