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Section 10.1 Présentation

Nous voulons toujours approcher la valeur d'une intégrale

\begin{equation*} \displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x \end{equation*}

à l'aide de subdivisions régulières

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b \end{equation*}

de l'intervalle \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de même longueur

\begin{equation*} \Delta x=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

  • Avec la méthode des rectangles, on remplace la fonction \(f\) par des fonctions constantes (polynômes de degré zéro) sur chaque sous-intervalle \([x_{k-1};x_k]\text{.}\)

    Cela revient à remplacer

    \begin{equation*} \displaystyle\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{par}\quad\Delta x\cdot f(\xi_k). \end{equation*}

  • Avec la méthode des trapèzes, on remplace la fonction \(f\) par les morceaux affines (polynômes de degré un au plus) qui interpolent les points \((x_{k-1};f(x_{k-1}))\) et \((x_k;f(x_k))\text{.}\)

    Cela revient à remplacer

    \begin{equation*} \displaystyle\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{par}\quad\frac{\Delta x}{2}\cdot (f(x_{k-1}+f(x_k)). \end{equation*}

  • Avec la méthode de Simpson, on remplace la fonction \(f\) par les morceaux polynomiaux de degré deux au plus qui interpolent les points

    \begin{equation*} (x_{k-1};f(x_{k-1})),\; (m_k;f(m_k))\;\text{et}\; (x_k;f(x_k)) \end{equation*}

    où \(m_k\) est le milieu de l'intervalle \([x_{k-1};x_k]\text{,}\) c'est-à-dire

    \begin{equation*} m_k=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}. \end{equation*}

    Cela revient à remplacer

    \begin{equation*} \displaystyle\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{par}\quad ? \end{equation*}

Commençons par vérifier que le polynôme interpolateur est bien celui annoncé.

D'après la remarque 7.1.8, on a

\begin{align*} N(t)&=f(c)+\frac{f(m)-f(c)}{m-c}(t-c)+\frac{\frac{f(d)-f(m)}{d-m}-\frac{f(m)-f(c)}{m-c}}{d-c}(t-c)(t-m)\\ &=f(c)+\frac{f(m)-f(c)}{\frac{\Delta x}{2}}(t-c)+\frac{\frac{f(d)-f(m)}{\frac{\Delta x}{2}}-\frac{f(m)-f(c)}{\frac{\Delta x}{2}}}{\Delta x}(t-c)(t-m)\\ &=f(c)+\frac{2(f(m)-f(c))}{\Delta x}(t-c)+\frac{2(f(c)-2f(m)+f(d))}{(\Delta x)^2}(t-c)(t-m). \end{align*}

Notons ensuite que par linéarité de l'intégrale, on a

\begin{equation*} \int_c^dN(t)\mathrm{d}t=f(c)\cdot I_1+\frac{2(f(m)-f(c))}{\Delta x}\cdot I_2+\frac{2(f(c)-2f(m)+f(d))}{(\Delta x)^2}\cdot I_3 \end{equation*}

où

  • la première intégrale vaut

    \begin{align*} I_1&=\int_c^d1\mathrm{d}t\\ &=t\,\Bigg\vert_c^d\\ &d-c\\ &=\Delta x\;, \end{align*}

  • la deuxième intégrale vaut

    \begin{align*} I_2&=\int_c^d(t-c)\mathrm{d}t\\ &=\frac{(t-c)^2}{2}\Bigg\vert_c^d\\ &=\frac{(d-c)^2}{2}-0\\ &=\frac{(\Delta x)^2}{2} \end{align*}

  • et la troisième intégrale vaut

    \begin{align*} I_3&=\int_c^d(t-c)(t-m)\mathrm{d}t\\ &=\int_c^d(t-c)\left(t-c-\frac{\Delta x}{2}\right)\mathrm{d}t\\ &=\int_c^d\left((t-c)^2-\frac{\Delta x}{2}\cdot(t-c)\right)\mathrm{d}t\\ &=\frac{(t-c)^3}{3}-\frac{\Delta x}{2}\cdot\frac{(t-c)^2}{2}\Bigg\vert_c^d\\ &=\frac{(d-c)^3}{3}-\frac{\Delta x}{2}\cdot\frac{(d-c)^2}{2}-0\\ &=\frac{(\Delta x)^3}{3}-\frac{\Delta x}{2}\cdot\frac{(\Delta x)^2}{2}\\ &=\frac{(\Delta x)^3}{12}. \end{align*}

On a donc

\begin{align*} \int_c^dN(t)\mathrm{d}t&=f(c)\cdot I_1+\frac{2(f(m)-f(c))}{\Delta x}\cdot I_2+\frac{2(f(c)-2f(m)+f(d))}{(\Delta x)^2}\cdot I_3\\ &=f(c)\cdot\Delta x+\frac{2(f(m)-f(c))}{\Delta x}\cdot\frac{(\Delta x)^2}{2}\\ &\qquad+\frac{2(f(c)-2f(m)+f(d))}{(\Delta x)^2}\cdot\frac{(\Delta x)^3}{12}\\ &=f(c)\cdot\Delta x+(f(m)-f(c))\cdot\Delta x+(f(c)-2f(m)+f(d))\cdot\frac{\Delta x}{6}\\ &=\frac{\Delta x}{6}\cdot\left(6f(c)+6(f(m)-f(c))+f(c)-2f(m)+f(d)\right)\\ &=\frac{\Delta x}{6}\cdot(f(c)+4f(m)+f(d)). \end{align*}
Définition 10.1.2. Méthode de Simpson.

Soit une intégrale définie

\begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x \end{equation*}

et soit

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b \end{equation*}

la subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de même longueur

\begin{equation*} \Delta x=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

Approcher la valeur de cette intégrale par la méthode des trapèzes à l'aide de cette subdivision revient à considérer l'approximation suivante :

\begin{equation*} \text{Approximation}=\frac{\Delta x}{6}\cdot\sum_{k=1}^n\left(f(x_{k-1})+4f(m_k)+f(x_k)\right) \end{equation*}

où

\begin{equation*} m_k=\frac{x_{k-1}+x_k}{2} \end{equation*}

est le milieu de l'intervalle \([x_{k-1};x_k]\text{.}\)

À venir.

Méthode de Simpson : Approcher l'intégrale d'une fonction en la remplaçant par des morceaux polynomiaux de degré deux.

  • Objectif : Obtenir des approximations de la valeur d'une intégrale \(\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\text{.}\)

  • Principe : Prendre

    \begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b \end{equation*}

    la subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de même longueur

    \begin{equation*} \Delta x=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

    Puis effectuer le calcul suivant :

    \begin{equation*} \text{Approximation}=\frac{\Delta x}{6}\cdot\sum_{k=1}^n\left(f(x_{k-1})+4f(m_k)+f(x_k)\right) \end{equation*}

    où \(m_k=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}\) désigne le milieu de l'intervalle \([x_{k-1};x_k]\) pour tout \(k=1,\ldots,n\text{.}\)

  • Hypothèses : Afin de pouvoir estimer l'erreur commise, on suppose que la fonction est dérivable quatre fois avec une dérivée quatrième continue sur \([a;b]\text{,}\) de sorte qu'il existe \(M\) tel que

    \begin{equation*} |f^{(4)}(x)|\leq M\quad\text{pour tout }x\in[a;b]. \end{equation*}

    On a alors

    \begin{equation*} \left|\text{Erreur}\right|\leq \frac{M(b-a)^5}{2880n^4}. \end{equation*}

  • Voir aussi : Notes de cours de Jérôme.

Déterminons l'approximation obtenue pour l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

si on applique la méthode de Simpson en subdivisant \([0;1]\) en quatre sous-intervalles de même longueur.

  • Notons \(f(x)=e^{-x^2}\text{.}\)

  • On a \(n=4\) et \(\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{4}=0{,}25\text{.}\)

  • Alors \(x_k=a+k\cdot\Delta x=k\cdot 0{,}25\) pour \(k=0,\ldots,4\) donne la subdivision régulière

    \begin{equation*} 0<0{,}25<0{,}5<0{,}75<1 \end{equation*}

    de l'intervalle d'intégration \([0;1]\text{.}\)

  • La méthode de Simpson donne alors

    \begin{align*} \text{Approximation}&=\frac{\Delta x}{6}\cdot\sum_{k=1}^4\left(f(x_{k-1})+4f(m_k)+f(x_k)\right)\\ &=\frac{0{,}25}{6}\cdot(A_1+A_2+A_3+A_4) \end{align*}

    où

    • \(\displaystyle A_1=f(0)+4f(0{,}125)+f(0{,}25)\)

    • \(\displaystyle A_2=f(0{,}25)+4f(0{,}375)+f(0{,}5)\)

    • \(\displaystyle A_3=f(0{,}5)+4f(0{,}625)+f(0{,}75)\)

    • \(\displaystyle A_4=f(0{,}75)+4f(0{,}875)+f(1)\)

  • Après des calculs fastidieux à la calculatrice ou avec l'aide de notre application, on obtient

    \begin{equation*} \text{Approximation}=0{,}746\,826\,120\,527\,46\ldots \end{equation*}

Estimons l'erreur commise à l'exemple précédent 10.1.4.

  • On a \(f(x)=e^{-x^2}\) et, après des calculs fastidieux ou avec l'aide d'un logiciel de calcul formel,

    \begin{equation*} f^{(4)}(x)=4e^{-x^2}\left(4x^4-12x^2+3\right). \end{equation*}

  • Donc

    \begin{align*} |f^{(4)}(x)|&=4e^{-x^2}\cdot \left|4x^4-12x^2+3\right|\\ &\leq 4e^{-x^2}\cdot\left(4x^4+12x^2+3\right)\\ &\leq 4\cdot\left(4+12+3\right)\\ &=76 \end{align*}

    pour tout \(x\in[0;1]\text{.}\)

  • Il en découle qu'on peut prendre \(M=76\) en appliquant le théorème 10.1.3 :

    \begin{align*} \left|\text{Erreur}\right|&\leq\frac{M(b-a)^5}{2880n^4}\\ &=\frac{76\cdot(1-0)^5}{2880\cdot 4^4}\\ &=\frac{76}{2880\cdot 4^4}\\ &=0{,}000\,103\ldots\\ &\leq 0{,}000\,11 \end{align*}

    d'où

    \begin{equation*} -0{,}000\,11\leq\text{Erreur}\leq 0{,}000\,11. \end{equation*}

Déduisons des deux exemples précédents 9.1.3 et 9.1.4 un encadrement de l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

avec cinq décimales.

D'une part

\begin{equation*} 0{,}746\,82\leq\text{Approximation}\leq 0{,}746\,83 \end{equation*}

et d'autre part

\begin{equation*} -0{,}000\,11\leq\text{Erreur}\leq 0{,}000\,11. \end{equation*}

Donc

\begin{equation*} 0{,}746\,82-0{,}000\,11\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}746\,83+0{,}000\,11 \end{equation*}

c'est-à-dire

\begin{equation*} 0{,}746\,71\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 0{,}746\,94. \end{equation*}

On est donc sûrs des trois premières décimales (746) alors qu'on n'en avait qu'une (7) avec quatre trapèzes.