Mathématiques et algorithmique

1. Notons \(f(x)=e^{x^2}\text{,}\) \(n=6\) et

   \begin{equation*} \Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{6}=\frac{1}{6}. \end{equation*}

   Voici la subdivision régulière de l'intervalle \([0;1]\) en six sous-intervalles de même longueur :

   \begin{equation*} 0<\frac{1}{6}<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{5}{6}<1. \end{equation*}

   La méthode de Simpson donne alors l'approximation suivante :

   \begin{align*} &\frac{\Delta x}{6}\cdot\sum_{k=1}^6\left(f(x_{k-1})+4f(m_k)+f(x_k)\right)\\ =\;&\frac{1}{36}\cdot\left(A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6\right) \end{align*}

   où

   • \(\displaystyle A_1=f(0)+4f(1/12)+f(1/6)\)

   • \(\displaystyle A_2=f(1/6)+4f(3/12)+f(1/3)\)

   • \(\displaystyle A_3=f(1/3)+4f(5/12)+f(1/2)\)

   • \(\displaystyle A_4=f(1/2)+4f(7/12)+f(2/3)\)

   • \(\displaystyle A_5=f(2/3)+4f(9/12)+f(5/6)\)

   • \(\displaystyle A_6=f(5/6)+4f(11/12)+f(1)\)

   Après des calculs fastidieux à la calculatrice ou avec l'aide de notre application, on obtient

   \begin{equation*} \text{Approximation}=1{,}4626661264184\ldots\approx 1{,}463. \end{equation*}

2. Notons \(g(x)=\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)\text{,}\) \(n=4\) et

   \begin{equation*} \Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{4-2}{4}=0{,}5. \end{equation*}

   Voici la subdivision régulière de l'intervalle \([2;4]\) en quatre sous-intervalles de même longueur :

   \begin{equation*} 2<2{,}5<3<3{,}5<4. \end{equation*}

   La méthode de Simpson donne alors l'approximation suivante :

   \begin{align*} &\frac{\Delta x}{6}\cdot\sum_{k=1}^4\left(g(x_{k-1})+4g(m_k)+g(x_k)\right)\\ =\;&\frac{0{,}5}{6}\cdot\left(A_1+A_2+A_3+A_4\right) \end{align*}

   où

   • \(\displaystyle A_1=g(2)+4g(2{,}25)+g(2{,}5)\)

   • \(\displaystyle A_2=g(2{,}5)+4g(2{,}75)+g(3)\)

   • \(\displaystyle A_3=g(3)+4g(3{,}25)+g(3{,}5)\)

   • \(\displaystyle A_4=g(3{,}5)+4g(3{,}75)+g(4)\)

   Après des calculs fastidieux à la calculatrice ou avec l'aide de notre application, on obtient

   \begin{equation*} \text{Approximation}=−0{,}35016073192408\ldots\approx -0{,}350. \end{equation*}

3. Notons \(h(x)=\ln(\ln(x^2+1)+1)\text{,}\) \(n=3\) et

   \begin{equation*} \Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{2+1}{3}=1. \end{equation*}

   Voici la subdivision régulière de l'intervalle \([-1;2]\) en trois sous-intervalles de même longueur :

   \begin{equation*} -1<0<1<2. \end{equation*}

   La méthode de Simpson donne alors l'approximation suivante :

   \begin{align*} &\frac{\Delta x}{6}\cdot\sum_{k=1}^3\left(h(x_{k-1})+4h(m_k)+h(x_k)\right)\\ =\;&\frac{1}{6}\cdot\left(A_1+A_2+A_3\right) \end{align*}

   où

   • \(\displaystyle A_1=h(-1)+4h(-0{,}5)+h(0)\)

   • \(\displaystyle A_2=h(0)+4h(0{,}5)+h(1)\)

   • \(\displaystyle A_3=h(1)+4h(1{,}5)+h(2)\)

   Après des calculs fastidieux à la calculatrice ou avec l'aide de notre application, on obtient

   \begin{equation*} \text{Approximation}=1{,}2108544333131\ldots\approx 1{,}211. \end{equation*}

1. Pour \(\displaystyle\int_0^1e^{x^2}\mathrm{d}x\) avec \(n=6\text{,}\) posons \(f(x)=e^{x^2}\text{.}\) Alors, avec un peu de patience ou l'aide de SageMathCell, on obtient

   \begin{equation*} f^{(4)}(x)=(16x^4+48x^2+12)e^{x^2}. \end{equation*}

   Donc

   \begin{align*} |f^{(4)}(x)|&=\left|(16x^4+48x^2+12)e^{x^2}\right|\\ &=\left|16x^4+48x^2+12\right|\cdot e^{x^2}\\ &\leq (16x^4+48x^2+12)\cdot e^{x^2}\\ &\leq (16+48+12)e\\ &=76e \end{align*}

   pour tout \(x\in[0;1]\text{.}\) Donc on peut prendre \(M=76e\) dans le théorème 10.1.3 et on a

   \begin{align*} |\text{Erreur}|&\leq\frac{M(b-a)^5}{2880n^4}\\ &=\frac{76e(1-0)^5}{2880\cdot 6^4}\\ &=\frac{76e}{2880\cdot 6^4}\\ &=0{,}000\,055\,349\ldots\\ &\leq 0{,}000\,06. \end{align*}

2. Pour \(\displaystyle\int_2^4\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)\mathrm{d}x\) avec \(n=4\text{,}\) posons \(g(x)=\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)\text{.}\) Alors, avec un peu de patience ou l'aide de SageMathCell, on obtient

   \begin{equation*} g^{(4)}(x)=\frac{81}{625}x^8\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)+\frac{324}{125}x^5\sin\left(\frac{x^3}{5}\right)-\frac{36}{5}x^2\cos\left(\frac{x^3}{5}\right). \end{equation*}

   Donc

   \begin{align*} |g^{(4)}(x)|&=\left|\frac{81}{625}x^8\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)+\frac{324}{125}x^5\sin\left(\frac{x^3}{5}\right)-\frac{36}{5}x^2\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)\right|\\ &\leq\frac{81}{625}x^8\left|\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)\right|+\frac{324}{125}x^5\left|\sin\left(\frac{x^3}{5}\right)\right|+\frac{36}{5}x^2\left|\cos\left(\frac{x^3}{5}\right)\right|\\ &\leq\frac{81}{625}x^8+\frac{324}{125}x^5+\frac{36}{5}x^2\\ &\leq\frac{81}{625}4^8+\frac{324}{125}4^5+\frac{36}{5}4^2\\ &=11\,262{,}8\ldots\\ &\leq 11\,263 \end{align*}

   pour tout \(x\in[2;4]\text{.}\) Donc on peut prendre \(M=11\,263\) dans le théorème 10.1.3 et on a

   \begin{align*} |\text{Erreur}|&\leq\frac{M(b-a)^5}{2880n^4}\\ &=\frac{11\,263(4-2)^5}{2880\cdot 4^4}\\ &=\frac{11\,263\cdot 2^5}{2880\cdot 4^4}\\ &\leq 0{,}488\ldots\\ &\leq 0{,}5. \end{align*}

3. Trop difficile au niveau cégep selon moi.

Y aller un pas à la fois, comme pour grimper une montagne.

# fonction
def simpson(f, a, b, n):
    approximation = 0
    deltaX = (b - a) / n
    for k in range(1, n+1):
        xi1 = a + (k - 1) * deltaX
        xi2 = xi1 + deltaX / 2
        xi3 = xi1 + deltaX
        approximation = approximation + f(xi1) + 4 * f(xi2) + f(xi3)
    approximation = approximation * deltaX / 6
    return(approximation)

# test
def f(x):
    return 1 / (1 + x)
print(simpson(f, 0.0, 1.0, 100))

# entrées
import numpy as np
def f(x):
    return 4 * np.sqrt(1 - x ** 2)
a = 0.0
b = 1.0
n = 32

# instructions
approximation = 0
deltaX = (b - a) / n
xi1 = a
while xi1 < b:
    xi2 = xi1 + deltaX / 2
    xi3 = xi1 + deltaX
    approximation = approximation + f(xi1) + 4 * f(xi2) + f(xi3)
    xi1 = xi1 + deltaX
approximation = approximation * deltaX / 6

# sortie
print(approximation)

1. Après des calculs fastidieux ou avec l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient

   \begin{equation*} f^{(4)}(x)=\frac{\sin(x)}{x}+\frac{4\cos(x)}{x^2}-\frac{12\sin(x)}{x^3}-\frac{24\cos(x)}{x^4}+\frac{24\sin(x)}{x^5}. \end{equation*}

2. Pour tout \(x\in[1;6]\text{,}\) on a

   \begin{align*} |f^{(4)}(x)|&=\left|\frac{\sin(x)}{x}+\frac{4\cos(x)}{x^2}-\frac{12\sin(x)}{x^3}-\frac{24\cos(x)}{x^4}+\frac{24\sin(x)}{x^5}\right|\\ &\leq\frac{|\sin(x)|}{x}+\frac{4|\cos(x)|}{x^2}+\frac{12|\sin(x)|}{x^3}+\frac{24|\cos(x)|}{x^4}+\frac{24|\sin(x)|}{x^5}\\ &\leq\frac{1}{x}+\frac{4\cdot 1}{x^2}+\frac{12\cdot 1}{x^3}+\frac{24\cdot 1}{x^4}+\frac{24\cdot 1}{x^5}\\ &\leq 1+4+12+24+24\\ &=65. \end{align*}

3. On cherche le plus petit \(n\) tel que

   \begin{equation*} \begin{array}{cccc} &|\text{Erreur}|&\leq&10^{-9}\\ \Leftrightarrow&\frac{M(b-a)^5}{2880n^4}&\leq&10^{-9}\\ \Leftrightarrow&\frac{65\cdot (6-1)^5}{2880n^4}&\leq&10^{-9}\\ \Leftrightarrow&\frac{65\cdot 5^5}{2880n^4}&\leq&\frac{1}{10^9}\\ \Leftrightarrow&\frac{65\cdot 5^5\cdot 10^9}{2880}&\leq&n^4\\ \Leftrightarrow&\sqrt[4]{\frac{65\cdot 5^5\cdot 10^9}{2880}}&\leq&n\\ \Leftrightarrow&515{,}3\ldots&\leq&n. \end{array} \end{equation*}

   Il s'agit donc de \(n=516\text{.}\)

4. Avec l'algorithme de la section 10.2, on trouve

   \begin{equation*} \text{Approximation}=0{,}478\,604\,480\,912\,304\ldots \end{equation*}

5. D'une part, on a

   \begin{equation*} |\text{Erreur}|\leq 10^{-9} \end{equation*}

   c'est-à-dire

   \begin{equation*} -0{,}000\,000\,001=-10^{-9}\leq\text{Erreur}\leq 10^{-9}=0{,}000\,000\,001. \end{equation*}

   D'autre part, on a

   \begin{equation*} 0{,}478\,604\,480\leq\text{Approximation}\leq 0{,}478\,604\,481. \end{equation*}

   Donc

   \begin{equation*} 0{,}478\,604\,480-10^{-9}\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}478\,604\,481+10^{-9} \end{equation*}

   c'est-à-dire

   \begin{equation*} 0{,}478\,604\,479\leq\int_1^6f(x)\mathrm{d}x\leq 0{,}478\,604\,482. \end{equation*}

6. Avec cet encadrement, on est sûrs de sept décimales (\(478\,604\,4\)).