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Section A.3 Décimales exactes et arrondissements

À partir d'un intervalle d'encadrement, on est en mesure de déterminer un certain nombre de décimales de la valeur qui nous intéresse.

Remarque A.3.1.

Le symbole \(\approx\) sera réservé aux arrondissements, et les points de suspension aux troncatures.

Par exemple, si une première calculatrice affiche

\begin{equation*} 3{,}141\,592\,653\,59 \end{equation*}

comme valeur pour \(\pi\text{,}\) on en conclut que

\begin{equation*} \pi\approx 3{,}141\,592\,653\,59\quad\text{et}\quad \pi=3{,}141\,592\,653\,5\ldots \end{equation*}

Et si une deuxième calculatrice affiche

\begin{equation*} 3{,}141\,592\,653\,589\,7 \end{equation*}

comme valeur pour \(\pi\text{,}\) on en conclut que

\begin{equation*} \pi\approx 3{,}141\,592\,653\,589\,7\quad\text{et}\quad \pi=3{,}141\,592\,653\,589\ldots \end{equation*}

Notez en particulier que la dernière décimale (9) fournie par la première calculatrice n'est pas exacte, mais provient d'un arrondissement par excès dû au fait que la vraie décimale correspondante (8) est suivie d'une décimale supérieure à 4.

À l'exemple A.2.1, on a obtenu l'encadrement

\begin{equation*} 17{,}315\,203\leq \text{Valeur exacte}\leq 17{,}315\,211. \end{equation*}

On en déduit que les décimales suivantes sont exactes

\begin{equation*} \text{Valeur exacte}=17{,}315\,2\ldots \end{equation*}

ainsi que l'arrondissement

\begin{equation*} \text{Valeur exacte}\approx 17{,}315\,2. \end{equation*}

À l'exemple A.2.2, on a obtenu l'encadrement

\begin{equation*} 17{,}314\,849\leq \text{Valeur exacte}\leq 17{,}315\,566. \end{equation*}

On en déduit que les décimales suivantes sont exactes

\begin{equation*} \text{Valeur exacte}=17{,}31\ldots \end{equation*}

ainsi que l'arrondissement

\begin{equation*} \text{Valeur exacte}\approx 17{,}3. \end{equation*}