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Section A.4 Exercices

Calculez l'erreur et l'erreur relative. Au besoin, arrondissez l'erreur relative à deux décimales.

  1. \(\text{Valeur exacte}=7{,}5\quad\) et \(\quad\text{Approximation}=7{,}2\text{.}\)

  2. \(\text{Valeur exacte}=124{,}05\quad\) et \(\quad\text{Approximation}=123{,}84\text{.}\)

  3. \(\text{Valeur exacte}=123{,}84\quad\) et \(\quad\text{Approximation}=124{,}05\text{.}\)

Réponse

  1. \(\text{Erreur}=0{,}3\quad\) et \(\quad\text{Erreur relative}=4\;\%\text{.}\)

  2. \(\text{Erreur}=0{,}21\quad\) et \(\quad\text{Erreur relative}\approx 0{,}17\;\%\text{.}\)

  3. \(\text{Erreur}=-0{,}21\quad\) et \(\quad\text{Erreur relative}\approx -0{,}17\;\%\text{.}\)

Étant donné les informations fournies sur l'approximation et l'erreur, encadrez la valeur exacte de la façon la plus précise possible.

  1. \(\text{Approximation}=8{,}3\quad\) et \(\quad\left|\text{Erreur}\right|\leq 0{,}01\text{.}\)

  2. \(\text{Approximation}=8{,}312\,407\ldots\quad\) et \(\quad\left|\text{Erreur}\right|\leq 10^{-5}\text{.}\)

  3. \(\text{Approximation}=8{,}312\,407\ldots\quad\) et \(\quad\left|\text{Erreur}\right|\leq 0{,}008\,2\ldots\text{.}\)

  4. \(\text{Approximation}\approx 8{,}312\,407\quad\) et \(\quad\left|\text{Erreur}\right|\leq 10^{-5}\text{.}\)

Réponse

  1. \(\displaystyle 8{,}29\leq\text{Valeur exacte}\leq 8{,}31\)

  2. \(\displaystyle 8{,}312\,397\leq\text{Valeur exacte}\leq 8{,}312\,418\)

  3. \(\displaystyle 8{,}304\,107\leq\text{Valeur exacte}\leq 8{,}320\,708\)

  4. \(\displaystyle 8{,}312\,396\leq\text{Valeur exacte}\leq 8{,}312\,418\)

Pour chacun des encadrements suivants, déterminez l'arrondissement le plus précis que vous pouvez en déduire.

  1. \(\displaystyle 137{,}809\,435\leq a\leq 137{,}809\,449\)

  2. \(\displaystyle 137{,}809\,435\leq b\leq 137{,}809\,442\)

  3. \(\displaystyle 137{,}809\,453\leq c\leq 137{,}809\,494\)

  4. \(\displaystyle 137{,}809\,435\leq d\leq 137{,}809\,494\)

  5. \(\displaystyle 137{,}809\,123\leq e\leq 137{,}809\,527\)

  6. \(\displaystyle 137{,}709\,453\leq f\leq 137{,}809\,479\)

  7. \(\displaystyle -137{,}709\,453\leq g\leq -137{,}709\,452\)

Réponse

  1. \(\displaystyle a\approx 137{,}809\,4\)

  2. \(\displaystyle b\approx 137{,}809\,44\)

  3. \(\displaystyle c\approx 137{,}809\,5\)

  4. \(\displaystyle d\approx 137{,}809\)

  5. \(\displaystyle e\approx 137{,}81\)

  6. \(\displaystyle f\approx 138\)

  7. \(\displaystyle g\approx -137{,}709\,45\)

Reprenez l'exemple A.0.2 concernant la série

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{4}{2n+1}=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\ldots \end{equation*}

et l'approximation par la somme partielle

\begin{equation*} 4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}=3{,}339\,682\,539\ldots \end{equation*}

Dans ce contexte, on sait en fait que l'erreur est comprise entre \(0\) et le premier terme négligé \(\left(-\frac{4}{11}\right)\text{,}\) c'est-à-dire :

\begin{equation*} -\frac{4}{11}\leq\text{Erreur}\leq 0. \end{equation*}

  1. Encadrez la valeur exacte de la somme de cette série en utilisant six décimales.

  2. Déduisez-en l'arrondissement le plus précis possible.

Solution

  1. Commençons par encadrer l'approximation.

    \begin{equation*} 3{,}339\,682\leq\text{Approximation}\leq 3{,}339\,683. \end{equation*}

    Encadrons ensuite l'erreur, sachant que \(\frac{4}{11}=0{,}363\,636\,363\ldots\text{,}\)

    \begin{equation*} -0{,}363\,637\leq\text{Erreur}\leq 0. \end{equation*}

    On a donc

    \begin{equation*} 3{,}339\,682-0{,}363\,637\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 3{,}339\,683+0 \end{equation*}

    c'est-à-dire

    \begin{equation*} 2{,}976\,045\leq\text{Valeur exacte}\leq 3{,}339\,683. \end{equation*}

  2. L'arrondissement le plus précis qu'on puisse en déduire est le suivant :

    \begin{equation*} \text{Valeur exacte}\approx 3. \end{equation*}

La somme de cette série bien connue vaut \(\pi\text{.}\) Mais il faut prendre beaucoup plus de termes dans la somme partielle pour obtenir un nombre intéressant de décimales de \(\pi\text{.}\)