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Section 4.1 Présentation

Par hypothèse, les nombres \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, de sorte que \(0\) est compris strictement entre les deux.

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc \(c\in\;]a;b[\) tel que \(f(c)=0\text{.}\)

Figure 4.1.3. Principe de base derrière la méthode de la bissection

Soit \(f(x):=x^2-2\) et \([a;b]:=[0;2]\text{.}\)

Comme toute fonction polynomiale, la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\text{,}\) donc sur \([0;2]\text{.}\) Puisque

\begin{equation*} f(0)f(2)=(-2)\cdot 2<0, \end{equation*}

il existe au moins un zéro dans l'intervalle \(]0;2[\text{.}\)

Par hypothèse, les nombres \(f(a)\) et \(f(b)\) sont non nuls et de signes opposés. Après avoir calculé \(f(m)\text{,}\) on a donc trois cas possibles.

  • Cas 1 : \(f(m)=0\text{.}\)
  • Cas 2 : \(f(m)\neq 0\) est du même signe que \(f(b)\text{,}\) ce qui équivaut à \(f(m)f(a)<0\text{.}\)
  • Cas 3 : \(f(m)\neq 0\) est du même signe que \(f(a)\text{,}\) ce qui équivaut à \(f(m)f(b)<0\text{.}\)

Par hypothèse d'unicité du zéro \(c\text{,}\) le cas 1 entraîne que \(c=m\text{.}\)

Dans le cas 2, le théorème 4.1.1 entraîne l'existence d'un zéro dans l'intervalle \(]a;m[\text{.}\) Par unicité, il s'agit forcément de \(c\text{.}\)

Dans le cas 3, le théorème 4.1.1 entraîne l'existence d'un zéro dans l'intervalle \(]m;b[\text{.}\) Par unicité, il s'agit forcément de \(c\text{.}\)

Reprenons la fonction \(f(x)=x^2-2\) de l'exemple 4.1.2 qui est continue sur \(\mathbb{R}\) comme toute fonction polynomiale.

  • On a \(f(0)f(2)=(-2)\cdot 2<0\) et on en déduit que \(f\) possède un zéro dans l'intervalle \(]0;2[\) par le théorème 4.1.1.

  • Comme sa dérivée \(f'(x)=2x\) est positive sur \(]0;2[\text{,}\) la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0;2[\text{.}\) Par conséquent, elle ne peut pas s'annuler plus qu'une fois dans cet intervalle.

Notons donc \(c\) l'unique zéro de \(f\) dans \(]0;2[\text{,}\) et appliquons maintenant le corollaire 4.1.4 à l'intervalle \([a;b]:=[0;2]\) dont le milieu est \(m:=\frac{0+2}{2}=1\text{.}\)

Les trois valeurs à calculer sont

\begin{equation*} f(a)=f(0)=-2\;,\quad f(m)=f(1)=-1\quad\text{et}\quad f(b)=f(2)=2. \end{equation*}

Comme \(f(m)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, on en déduit que \(c\) appartient à l'intervalle \(]m;b[\;=\;]1;2[\text{.}\)

Remarque 4.1.6.

Le corollaire 4.1.4 est itératif par nature.

  • Dans le cas 1, on a trouvé le zéro de la fonction et on peut arrêter de le chercher.
  • Dans le cas 2, on peut appliquer à nouveau le corollaire 4.1.4 à l'intervalle \([a;m]\text{.}\)
  • Dans le cas 3, on peut appliquer à nouveau le corollaire 4.1.4 à l'intervalle \([m;b]\text{.}\)

Toujours avec la fonction \(f(x)=x^2-2\) de l'exemple 4.1.2, effectuons trois itérations du corollaire 4.1.4 en partant de l'intervalle \([0;2]\text{.}\)

On note \(c\) l'unique zéro de \(f\) dans \(]0;2[\text{.}\)

  • Itération 1 :
    \begin{equation*} \begin{array}{ c<{{}} c >{{}}c } a=0 & m=1 & b=2\\ f(a)=-2 & f(m)=-1 & f(b)=2 \end{array} \end{equation*}
    \begin{equation*} \text{d'où}\quad c\in\;]1;2[. \end{equation*}
  • Itération 2 :
    \begin{equation*} \begin{array}{ c<{{}} c >{{}}c } a=1 & m=1{,}5 & b=2 \\ f(a)=-1 & f(m)=0{,}25 & f(b)=2 \end{array} \end{equation*}
    \begin{equation*} \text{d'où}\quad c\in\;]1;1{,}5[. \end{equation*}
  • Itération 3 :
    \begin{equation*} \begin{array}{ c<{{}} c >{{}}c } a=1 & m=1{,}25 & b=1{,}5 \\ f(a)=-1 & f(m)=-0{,}437\,5 & f(b)=0{,}25 \end{array} \end{equation*}
    \begin{equation*} \text{d'où}\quad c\in\;]1{,}25;1{,}5[. \end{equation*}

Remarques :

  • Au départ, \(c\) appartient à un intervalle de longueur \(2\text{.}\)
  • À chaque itération, la longueur de l'intervalle auquel \(c\) appartient est divisée par \(2\text{,}\) puisqu'on remplace une de ses bornes par son milieu.
  • Après trois itérations, on est donc capables de situer \(c\) dans un intervalle de longueur \(2/2^3=0{,}25\text{.}\)
Méthode de la bissection : Encadrer un zéro en coupant des intervalles en deux.
  • Objectif : Encadrer un zéro de la fonction \(f\text{.}\)
  • Hypothèses : On suppose que la fonction \(f\) est continue sur \([a;b]\text{,}\) qu'elle possède un unique zéro dans \(]a;b[\text{,}\) et que \(f(a)f(b)<0\text{.}\)

  • Principe :

    • Au départ, l'intervalle d'encadrement de \(c\) est \(]a;b[\text{.}\)

    • Ensuite, on compare les trois valeurs \(f(a), f(m)\) et \(f(b)\) où \(m:=\frac{a+b}{2}\) est le milieu de l'intervalle \([a;b]\text{.}\)

      • Si \(f(m)=0\text{,}\) on s'arrête car on vient de tomber sur le zéro.

      • Si \(f(m)f(a)<0\text{,}\) on remplace \(]a;b[\) par \(]a;m[\text{.}\)

      • Si \(f(m)f(b)<0\text{,}\) on remplace \(]a;b[\) par \(]m;b[\text{.}\)

    • On répète l'opération précédente jusqu'à ce qu'on tombe sur le zéro ou que la longueur de l'intervalle soit assez petite à notre goût.
  • Précision : Après \(n\) itérations, on obtient un intervalle d'encadrement du zéro \(c\) qui est de longueur \(\frac{b-a}{2^n}\text{.}\)
  • Voir aussi : Notes de cours de Jérôme.

On considère la fonction polynomiale \(g(x)=2x^2+5x-3\) qui est continue sur \(\mathbb{R}\) comme toute fonction polynomiale.

  • On a \(g(0)g(4)=(-3)\cdot 49<0\) et on en déduit que \(g\) possède un zéro dans l'intervalle \(]0;4[\) par le théorème 4.1.1.
  • Comme sa dérivée \(g'(x)=4x+5\) est positive sur \(]0;4[\text{,}\) la fonction \(g\) est strictement croissante sur cet intervalle, et par conséquent elle ne peut pas s'y annuler plus qu'une fois.

Notons donc \(c\) l'unique zéro de \(g\) dans \(]0;4[\) et appliquons la méthode de la bissection afin d'obtenir un intervalle d'encadrement de \(c\) de longueur inférieure ou égale à \(0{,}01\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{array}{cccccccc} \text{Itération}&a&b&b-a&m&f(m)&f(a)&m\rightarrow\\ \hline 1&0&4&>0{,}01&2&+&-&b\\ 2&0&2&>0{,}01&1&+&-&b\\ 3&0&1&>0{,}01&0{,}5&0&&\\ \end{array} \end{equation*}

À la troisième itération, on trouve \(f(m)=0\text{,}\) ce qui signifie qu'on est tombés par chance sur le zéro qui est donc \(c=0{,}5\text{.}\) Il est alors inutile de parler d'encadrement.

Reprenons l'exemple 4.1.7 là où l'on s'était arrêtés, et partons donc de l'intervalle d'encadrement \([1{,}25;1{,}5]\) du zéro \(c\text{,}\) dont la longueur est \(1{,}5-1{,}25=0{,}25\text{.}\)

Appliquons alors la méthode de la bissection afin d'obtenir un intervalle d'encadrement de \(c\) de longueur inférieure ou égale à \(0{,}01\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{array}{cccccccc} \text{Itération}&a&b&b-a&m&f(m)&f(a)&m\rightarrow\\ \hline 1&1{,}25&1{,}5&>0{,}01&1{,}375&-&-&a\\ 2&1{,}375&1{,}5&>0{,}01&1{,}437\,5&+&-&b\\ 3&1{,}375&1{,}437\,5&>0{,}01&1{,}406\,25&-&-&a\\ 4&1{,}406\,25&1{,}437\,5&>0{,}01&1{,}421\,875&+&-&b\\ 5&1{,}406\,25&1{,}421\,875&>0{,}01&1{,}414\,062\,5&-&-&a\\ 6&1{,}414\,062\,5&1{,}421\,875&\leq 0{,}01&&&&\\ \end{array} \end{equation*}

Après la cinquième itération, l'intervalle d'encadrement est de longueur \(0{,}007\,812\,5 \leq 0{,}01\text{.}\) Donc on s'arrête et on ne complète pas la sixième itération.

Les deux dernières bornes trouvées sont \(a=1{,}414\,062\,5\) et \(b=1{,}421\,875\text{.}\) Autrement dit, le zéro \(c\) vérifie l'encadrement

\begin{equation*} 1{,}414\,062\,5<c<1{,}421\,875. \end{equation*}

Notons enfin que \(c=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,214\) et que l'encadrement ci-dessus ne fournit pas davantage que la première décimale du zéro \(c\text{.}\)