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Section 9.1 Présentation

Rappelons que la méthode des rectangles 8.1.8 consiste à approcher la valeur de l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x \end{equation*}

par le nombre

\begin{equation*} \Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf(\xi_k)=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot\Delta x \end{equation*}

qui est égal à la somme des aires algébriques des \(n\) rectangles de côtés \(\Delta x=x_k-x_{k-1}\) et \(f(\xi_k)\text{,}\) dont l'aire

\begin{equation*} \Delta x\cdot f(\xi_k) \end{equation*}

est positive, négative, ou nulle, selon la valeur de \(f(\xi_k)\text{.}\)

La méthode des trapèzes consiste à remplacer chacun de ces \(n\) rectangles par le trapèze de bases \(f(x_{k-1})\) et \(f(x_k)\text{,}\) et de hauteur \(\Delta x\text{,}\) ce qui donne l'aire algébrique

\begin{equation*} \frac{\Delta x}{2}\cdot (f(x_{k-1})+f(x_k)). \end{equation*}
Définition 9.1.1. Méthode des trapèzes.

Soit une intégrale définie

\begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x \end{equation*}

et soit

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

la subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de longueur

\begin{equation*} \Delta x:=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

Approcher la valeur de cette intégrale par la méthode des trapèzes à l'aide de cette subdivision consiste à poser

\begin{equation*} \text{Approximation}:=\frac{\Delta x}{2}\cdot\sum_{k=1}^n\left(f(x_{k-1})+f(x_k)\right). \end{equation*}

Pourvu que la fonction soit suffisamment régulière, l'erreur commise en appliquant la méthode des trapèzes est en \(1/n^2\text{.}\) Elle converge donc beaucoup plus rapidement que celle engendrée par la méthode des rectangles dans le cas général (voir le théorème 8.1.11). Toutefois, elle ne fait pas mieux que la méthode du point milieu (voir l'exercice 8.3.12).

L'idée de la démonstration qu'on donne ici peut se résumer grossièrement comme suit.

  • Sur un seul intervalle \([c;d]\)de largeur

    \begin{equation*} \Delta x:=d-c, \end{equation*}

    on peut toujours écrire

    \begin{equation*} f(t)=p(t)+e(t) \end{equation*}

    où \(p(t)\) est le polynôme de degré un au plus qui interpole les points \((c;f(c))\) et \((d;f(d))\text{.}\)

  • Si la fonction est suffisamment régulière, on peut contrôler l'erreur d'interpolation (voir exercice 6.3.12) par la majoration

    \begin{equation*} |e(t)|\le\frac{M}{2}|t-c||d-c| \end{equation*}

    qui donne

    \begin{equation*} \int_c^d|e(t)|\mathrm{d}t\le\frac{M(\Delta x)^3}{12} \end{equation*}

    après intégration, tandis que

    \begin{equation*} \int_c^dp(t)\mathrm{d}t=\frac{\Delta x}{2}\cdot(f(c)+f(d)). \end{equation*}

  • En appliquant ce qui précède à chaque sous-intervalle \([x_{k-1};x_k]\) de la subdivision régulière

    \begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

    et en faisant la somme de ces \(n\) morceaux, on obtient

    \begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\text{Approximation}+\text{Erreur} \end{equation*}

    avec l'approximation mentionnée ci-dessus 9.1.1 et

    \begin{equation*} |\text{Erreur}|\le n\cdot\frac{M(\Delta x)^3}{12}. \end{equation*}

L'ingrédient principal de notre démonstration est l'estimation

\begin{equation*} \left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-\frac{\Delta x}{2}\cdot(f(x_{k-1})+f(x_k))\right|\le\frac{M(\Delta x)^3}{12} \end{equation*}

qui découle, pour tout \(k=1,\ldots,n\text{,}\) de la question 4 de l'exercice 9.3.11.

Grâce à la relation de Chasles et à l'inégalité triangulaire de la valeur absolue, on en déduit que

\begin{align*} |\text{Erreur}|&=\left|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x-\frac{\Delta x}{2}\cdot\sum_{k=1}^n(f(x_{k-1})+f(x_k))\right|\\ &=\left|\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-\sum_{k=1}^n\frac{\Delta x}{2}\cdot(f(x_{k-1})+f(x_k))\right|\\ &=\left|\sum_{k=1}^n\left(\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-\frac{\Delta x}{2}\cdot(f(x_{k-1})+f(x_k))\right)\right|\\ &\le\sum_{k=1}^n\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-\frac{\Delta x}{2}\cdot(f(x_{k-1})+f(x_k))\right|\\ &\le\sum_{k=1}^n\frac{M(\Delta x)^3}{12}\\ &=n\cdot\frac{M(\Delta x)^3}{12}\\ &=n\cdot\frac{M(b-a)^3}{12n^3}\\ &=\frac{M(b-a)^3}{12n^2}. \end{align*}
Méthode des trapèzes : Approcher la valeur de l'intégrale d'une fonction en la remplaçant par des morceaux affines.
  • Objectif : Obtenir des approximations de \(\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\text{.}\)

  • Principe :

    • Prendre la subdivision régulière

      \begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

      de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de longueur

      \begin{equation*} \Delta x:=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

    • Poser

      \begin{equation*} \text{Approximation}:=\frac{\Delta x}{2}\cdot\sum_{k=1}^n\left(f(x_{k-1})+f(x_k)\right). \end{equation*}

  • Précision : Si la fonction \(f\) est deux fois dérivable avec une dérivée seconde continue sur \([a;b]\) de sorte qu'il existe une constante \(M\) telle que

    \begin{equation*} |f''(x)|\leq M\quad\text{pour tout }x\in[a;b], \end{equation*}

    alors on a

    \begin{equation*} \left|\text{Erreur}\right|\leq \frac{M(b-a)^3}{12n^2} \end{equation*}

    où l'on définit l'erreur commise par

    \begin{equation*} \text{Erreur}:=\underbrace{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}_{\text{Valeur exacte}}-\underbrace{\frac{\Delta x}{2}\cdot\sum_{k=1}^n\left(f(x_{k-1})+f(x_k)\right)}_{\text{Approximation}}. \end{equation*}

  • Astuce de calcul : Notez que l'approximation s'obtient aussi par la formule

    \begin{equation*} \text{Approximation}=\frac{\Delta x}{2}\cdot\left(f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right). \end{equation*}
  • Voir aussi : Notes de cours de Jérôme.

Pour finir, les trois exemples qui suivent concernent l'application de la méthode des trapèzes à l'intégrale

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

avec quatre trapèzes. Dans l'ordre, on y

  • calcule l'approximation,
  • estime l'erreur commise,
  • encadre la valeur exacte de l'intégrale.

Déterminons l'approximation obtenue pour l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

lorsqu'on applique la méthode des trapèzes avec quatre trapèzes.

  • Notons \(f(x):=e^{-x^2}\text{.}\)

  • Soit \(n:=4\text{,}\) \(\Delta x:=\frac{1-0}{4}=0{,}25\) et

    \begin{equation*} x_k:=0+k\cdot\Delta x=k\cdot 0{,}25 \end{equation*}

    pour \(k=0,1,2,3,4\text{.}\)

  • La subdivision régulière de l'intervalle \([0;1]\) à considérer est donc

    \begin{equation*} 0<0{,}25<0{,}5<0{,}75<1. \end{equation*}

  • Par la méthode des trapèzes, on obtient alors

    \begin{align*} \text{Approximation}:&=\frac{\Delta x}{2}\cdot\sum_{k=1}^n\left(f(x_{k-1})+f(x_k)\right)\\ &=\frac{0{,}25}{2}\cdot((f(0)+f(0{,}25))+(f(0{,}25)+f(0{,}5))\\ &\qquad\qquad+(f(0{,}5)+f(0{,}75))+(f(0{,}75)+f(1)))\\ &=\frac{0{,}25}{2}\cdot(f(0)+2f(0{,}25)+2f(0{,}5)+2f(0{,}75)+f(1))\\ &\approx 0{,}742\,984\,097\,800\,38. \end{align*}

Estimons l'erreur commise à l'exemple précédent 9.1.3.

  • On a \(f(x)=e^{-x^2}\text{,}\) donc

    \begin{equation*} f'(x)=e^{-x^2}\cdot(-2x)=-2x\cdot e^{-x^2} \end{equation*}

    et

    \begin{align*} f''(x)&=-2\cdot e^{-x^2}-2x\cdot e^{-x^2}\cdot(-2x)\\ &=-2\cdot e^{-x^2}+4x^2\cdot e^{-x^2}\\ &=2\cdot(2x^2-1)\cdot e^{-x^2}. \end{align*}

  • En passant à la valeur absolue, on obtient

    \begin{equation*} |f''(x)|=2\cdot|2x^2-1|\cdot e^{-x^2}. \end{equation*}

  • La fonction \(g(x):=2x^2-1\) est croissante sur l'intervalle \([0;1]\text{,}\) donc

    \begin{equation*} g(0)\leq g(x)\leq g(1) \end{equation*}

    i.e.

    \begin{equation*} -1\leq 2x^2-1\leq 1, \end{equation*}

    d'où

    \begin{equation*} |2x^2-1|\leq 1 \end{equation*}

    pour tout \(x\in[0;1]\text{.}\)

  • Comme par ailleurs

    \begin{equation*} e^{-x^2}\leq e^0=1 \end{equation*}

    pour tout \(x\text{,}\) on a

    \begin{align*} |f''(x)|&=2\cdot|2x^2-1|\cdot e^{-x^2}\\ &\leq 2\cdot 1\cdot 1\\ &=2 \end{align*}

    pour tout \(x\in[0;1]\text{.}\)

  • On peut donc appliquer le théorème 9.1.2 avec \(M:=2\text{,}\) ce qui donne

    \begin{align*} \left|\text{Erreur}\right|&\leq\frac{M(b-a)^3}{12n^2}\\ &=\frac{2\cdot(1-0)^3}{12\cdot 4^2}\\ &=\frac{1}{6\cdot 16}\\ &=0{,}010\,4\ldots\\ &\leq 0{,}011 \end{align*}

    d'où

    \begin{equation*} -0{,}011\leq\text{Erreur}\leq 0{,}011. \end{equation*}

Déduisons des deux exemples précédents 9.1.3 et 9.1.4 un encadrement de l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

avec trois décimales.

D'une part, on a

\begin{equation*} 0{,}742\leq\text{Approximation}\leq 0{,}743. \end{equation*}

D'autre part, on a

\begin{equation*} -0{,}011\leq\text{Erreur}\leq 0{,}011. \end{equation*}

Donc

\begin{equation*} 0{,}742-0{,}011\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}743+0{,}011 \end{equation*}

i.e.

\begin{equation*} 0{,}731\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 0{,}754. \end{equation*}

Remarque : On est donc sûrs de la première décimale (7) avec quatre trapèzes seulement, ce qui était loin d'être le cas avec quatre rectangles.