Mathématiques et algorithmique

Notons \(f(x):=\frac{1}{1+x^2}\text{,}\) \(n:=5\) et

La subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([0;1]\) en cinq sous-intervalles donne

1. Approximation par les rectangles à gauche :

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\left(f(0)+f(0{,}2)+f(0{,}4)+f(0{,}6)+f(0{,}8)\right)\\ =\;&0{,}2\cdot\left(\frac{1}{1+0^2}+\frac{1}{1+0{,}2^2}+\frac{1}{1+0{,}4^2}+\frac{1}{1+0{,}6^2}+\frac{1}{1+0{,}8^2}\right)\\ \approx\;&0{,}834. \end{align*}

2. Approximation par les rectangles à droite :

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\left(f(0{,}2)+f(0{,}4)+f(0{,}6)+f(0{,}8)+f(1)\right)\\ =\;&0{,}2\cdot\left(\frac{1}{1+0{,}2^2}+\frac{1}{1+0{,}4^2}+\frac{1}{1+0{,}6^2}+\frac{1}{1+0{,}8^2}+\frac{1}{1+1^2}\right)\\ \approx\;&0{,}734. \end{align*}

3. Approximation par les rectangles au milieu :

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\left(f(0{,}1)+f(0{,}3)+f(0{,}5)+f(0{,}7)+f(0{,}9)\right)\\ =\;&0{,}2\cdot\left(\frac{1}{1+0{,}1^2}+\frac{1}{1+0{,}3^2}+\frac{1}{1+0{,}5^2}+\frac{1}{1+0{,}7^2}+\frac{1}{1+0{,}9^2}\right)\\ \approx\;&0{,}786. \end{align*}

Notons \(f(x):=\sin(x)\text{,}\) \(n:=4\) et

La subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([0;\pi]\) en quatre sous-intervalles donne

1. Approximation par les rectangles à gauche :

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\left(f(0)+f\left(\frac{\pi}{4}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\\ =\;&\frac{\pi}{4}\cdot\left(\sin(0)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\\ \approx\;&1{,}896. \end{align*}

2. Approximation par les rectangles à droite :

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{3\pi}{4}\right)+f(\pi)\right)\\ =\;&\frac{\pi}{4}\cdot\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\sin(\pi)\right)\\ \approx\;&1{,}896. \end{align*}

3. Approximation par les rectangles au milieu :

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{3\pi}{4}\right)+f(\pi)\right)\\ =\;&\frac{\pi}{4}\cdot\left(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)\right)\\ \approx\;&2{,}052. \end{align*}

Notons \(f(x):=x\text{,}\) \(n:=10\) et

La subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([2;3]\) en dix sous-intervalles donne

après avoir posé

Comme il y a beaucoup de valeurs, nous allons utiliser la notation sigma pour exprimer l'approximation cherchée :

1. Rectangles à gauche : On prend \(\xi_k:=x_{k-1}\) et alors

   \begin{align*} \text{Approximation}&= 0{,}1\cdot\sum_{k=1}^{10}(2+(k-1)\cdot 0{,}1)\\ &=0{,}1\cdot\left(\sum_{k=1}^{10}2+\left(\sum_{k=1}^{10}(k-1)\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(\sum_{k=1}^{10}2+\left(\sum_{k=1}^9k\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(10\cdot 2+\left(\frac{9\cdot(9+1)}{2}\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(20+45\cdot 0{,}1\right)\\ &=2{,}45. \end{align*}

2. Rectangles à droite : On prend \(\xi_k:=x_k\) et alors

   \begin{align*} \text{Approximation}&=0{,}1\cdot\sum_{k=1}^{10}(2+k\cdot 0{,}1)\\ &=0{,}1\cdot\left(\sum_{k=1}^{10}2+\left(\sum_{k=1}^{10}k\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(10\cdot 2+\left(\frac{10\cdot(10+1)}{2}\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(20+55\cdot 0{,}1\right)\\ &=2{,}55. \end{align*}

3. Rectangles au milieu : On prend \(\xi_k:=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}=2+(k-0{,}5)\cdot 0{,1}\) et alors

   \begin{align*} \text{Approximation}&=0{,}1\cdot\sum_{k=1}^{10}(2+(k-0{,}5)\cdot 0{,}1)\\ &=0{,}1\cdot\left(\sum_{k=1}^{10}2+\left(\sum_{k=1}^{10}k-\sum_{k=1}^{10}0{,}5\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(10\cdot 2+\left(\frac{10\cdot(10+1)}{2}-10\cdot 0{,}5\right)\cdot 0{,}1\right)\\ &=0{,}1\cdot\left(20+55-5\cdot 0{,}1\right)\\ &=2{,}5. \end{align*}

• Notons \(f(x):=\frac{1}{1+x}\text{.}\)

• Soit \(n:=5\text{,}\) \(\Delta x:=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{5}=0{,}2\) et

  \begin{equation*} x_k:=a+k\cdot\Delta x=k\cdot 0{,}2 \end{equation*}

  pour \(k=0,\ldots,5\text{.}\)

• La subdivision régulière de l'intervalle \([0;1]\) à considérer est

  \begin{equation*} 0<0{,}2<0{,}4<0{,}6<0{,}8<1. \end{equation*}

• Par la méthode des rectangles à gauche, on obtient

  \begin{align*} \text{Approximation}&=0{,}2\cdot\left(f(0)+f(0{,}2)+f(0{,}4)+f(0{,}6)+f(0{,}8)\right)\\ &=0{,}2\cdot\left(1+\frac{1}{1{,}2}+\frac{1}{1{,}4}+\frac{1}{1{,}6}+\frac{1}{1{,}8}\right)\\ &=0{,}745\ldots \end{align*}

  d'où

  \begin{equation*} 0{,}745\leq\text{Approximation}\leq 0{,}746. \end{equation*}

• Pour tout \(x\in[0;1]\text{,}\) on a \(1+x\ge 1\text{,}\) d'où

  \begin{equation*} (1+x)^2\le 1^2=1 \end{equation*}

  et

  \begin{align*} |f'(x)|&=\left|-\frac{1}{(1+x)^2}\right|\\ &=\frac{1}{(1+x)^2}\\ &\le 1. \end{align*}

• On peut donc appliquer le théorème 8.1.11 avec \(M:=1\text{,}\) d'où

  \begin{align*} |\text{Erreur}|&\leq\frac{M(b-a)^2}{2n}\\ &=\frac{1\cdot(1-0)^2}{2\cdot 5}\\ &=0{,}1 \end{align*}

  i.e.

  \begin{equation*} -0{,}1\leq\text{Erreur}\leq 0{,}1. \end{equation*}

• En additionnant les inéquations qui précèdent, on obtient

  \begin{equation*} 0{,}745-0{,}1\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}746+0{,}1 \end{equation*}

  i.e.

  \begin{equation*} 0{,}645\leq\int_0^1\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x\leq 0{,}846. \end{equation*}

Remarque : Sachant que cette intégrale vaut \(\ln 2=0,693\ldots\text{,}\) on comprend qu'il faudrait beaucoup plus de rectangles pour être capable d'en déterminer les premières décimales par cette méthode.

On a déjà vu à l'exercice précédent qu'on pouvait appliquer le théorème 8.1.11 avec \(M:=1\text{,}\) alors on cherche le plus petit entier \(n\) tel que

Il faut donc \(500\,000\) rectangles au minimum.

Voici une façon de faire :

# entrées :
import numpy as np
def f(x):
    return 4 * np.sqrt(1 - x ** 2)
a = 0.0
b = 1.0
n = 1000 # ligne modifiée
# instructions :
approximation = 0
deltaX = (b - a) / n
x = b # ligne modifiée
while x > a: # ligne modifiée
    approximation = approximation + f(x)
    x = x - deltaX # ligne modifiée
approximation = deltaX * approximation
# sortie :
print(approximation)

Voici une façon de faire :

# entrées :
import numpy as np
def f(x):
    return 4 * np.sqrt(1 - x ** 2)
a = 0.0
b = 1.0
n = 32
# instructions :
approximation = 0
deltaX = (b - a) / n
for k in range(1, n+1):
    x = a + (k - 1) * deltaX
    approximation = approximation + f(x)
approximation = deltaX * approximation
# sortie :
print(approximation)

Voici une façon de faire :

# fonction :
def rectanglesAuMilieu(f, a, b, n):
    approximation = 0
    deltaX = (b - a) / n
    x = a + deltaX / 2
    while x < b:
        approximation = approximation + f(x)
        x = x + deltaX
    approximation = deltaX * approximation
    return approximation
# test :
def f(x):
    return 1 / (1 + x)
print(rectanglesAuMilieu(f, 0.0, 1.0, 1000))

1. Comme on l'a vu dans l'énoncé du Principe 8.1.7, on a

   \begin{equation*} f(\xi)\cdot\Delta x=\int_c^df(\xi)\mathrm{d}x, \end{equation*}

   d'où

   \begin{align*} E:&=\int_c^df(x)\mathrm{d}x-f(\xi)\cdot\Delta x\\ &=\int_c^df(x)\mathrm{d}x-\int_c^df(\xi)\mathrm{d}x\\ &=\int_c^d(f(x)-f(\xi))\mathrm{d}x. \end{align*}

   On observe ensuite qu'on a

   \begin{equation*} -|f(x)-f(\xi)|\le f(x)-f(\xi)\le|f(x)-f(\xi)| \end{equation*}

   pour tout \(x\in[c;d]\text{,}\) d'où

   \begin{equation*} -\int_c^d|f(x)-f(\xi)|\mathrm{d}x\le E\le\int_c^d|f(x)-f(\xi)|\mathrm{d}x \end{equation*}

   et finalement

   \begin{equation*} |E|\le\int_c^d|f(x)-f(\xi)|\mathrm{d}x. \end{equation*}

2. Pour tout \(x\in[c;d]\text{,}\) la formule de Taylor-Lagrange (voir l'exercice 5.3.7) entraîne l'existence d'un nombre \(c\) compris entre \(x\) et \(\xi\) tel que

   \begin{equation*} f(x)-f(\xi)=f'(c)(x-\xi), \end{equation*}

   de sorte que

   \begin{align*} |f(x)-f(\xi)|&=|f'(c)\cdot (x-\xi)|\\ &=|f'(c)|\cdot|x-\xi|\\ &\le M\cdot|x-\xi|. \end{align*}

3. Grâce aux deux premières questions, on a

   \begin{align*} \left|\int_c^df(x)\mathrm{d}x-f(c)\cdot\Delta x\right|&\le\int_c^d|f(x)-f(c)|\mathrm{d}x\\ &\le\int_c^dM\cdot|x-c|\mathrm{d}x\\ &=M\cdot\int_c^d(x-c)\mathrm{d}x\\ &=M\cdot\frac{(x-c)^2}{2}\,\Bigg\vert_c^d\\ &=M\cdot\frac{(d-c)^2}{2}-M\cdot\frac{(c-c)^2}{2}\\ &=\frac{M(\Delta x)^2}{2}. \end{align*}

4. Grâce aux deux premières questions, on a

   \begin{align*} \left|\int_c^df(x)\mathrm{d}x-f(d)\cdot\Delta x\right|&\le\int_c^d|f(x)-f(d)|\mathrm{d}x\\ &\le\int_c^dM\cdot|x-d|\mathrm{d}x\\ &=-M\cdot\int_c^d(x-d)\mathrm{d}x\\ &=-M\cdot\frac{(x-d)^2}{2}\,\Bigg\vert_c^d\\ &=-M\cdot\frac{(d-d)^2}{2}+M\cdot\frac{(c-d)^2}{2}\\ &=\frac{M(\Delta x)^2}{2}. \end{align*}

5. Grâce aux deux premières questions, à la relation de Chasles, et au fait que

   \begin{equation*} (c-\xi)^2=(\xi-d)^2=\frac{(\Delta x)^2}{4}, \end{equation*}

   on a

   \begin{align*} \left|\int_c^df(x)\mathrm{d}x-f(\xi)\cdot\Delta x\right|&\le\int_c^d|f(x)-f(\xi)|\mathrm{d}x\\ &\le\int_c^dM\cdot|x-\xi|\mathrm{d}x\\ &=\int_c^\xi M\cdot|x-\xi|\mathrm{d}x+\int_\xi^dM\cdot|x-\xi|\mathrm{d}x\\ &=-M\cdot\int_c^\xi(x-\xi)\mathrm{d}x+M\cdot\int_\xi^d(x-\xi)\mathrm{d}x\\ &=-M\cdot\frac{(x-\xi)^2}{2}\,\Bigg\vert_c^\xi+M\cdot\frac{(x-\xi)^2}{2}\,\Bigg\vert_\xi^d\\ &=-\cancel{M\cdot\frac{(\xi-\xi)^2}{2}}+M\cdot\frac{(c-\xi)^2}{2}\\ &\quad+M\cdot\frac{(d-\xi)^2}{2}-\cancel{M\cdot\frac{(\xi-\xi)^2}{2}}\\ &=\frac{M(\Delta x)^2}{8}+\frac{M(\Delta x)^2}{8}\\ &=\frac{M(\Delta x)^2}{4} \end{align*}

6. Comme la dérivée de \(g\) vaut

   \begin{equation*} g'(\xi)=2\xi-c-d \end{equation*}

   et ne s'annule qu'au milieu \((c+d)/2\) de l'intervalle \([c;d]\text{,}\) on a les variations suivantes :

   \begin{equation*} \begin{array}{c|ccccccc} \xi&c&&&&(c+d)/2)&&&&d&\\ \hline g'(\xi)&&&-&&0&&+&&&\\ \hline g(\xi)&(\Delta x)^2/2&&\searrow&&(\Delta x)^2/4&&\nearrow&&(\Delta x)^2/2& \end{array} \end{equation*}

   On en déduit que le maximum de \(g\) sur \([c;d]\) est égal à \((\Delta x)^2/2\text{,}\) d'où

   \begin{equation*} g(\xi)\le\frac{(\Delta x)^2}{2} \end{equation*}

   pour tout \(\xi\in[c;d]\text{.}\)

7. En reprenant les calculs de la question 5 et en utilisant l'estimation de la question 6, on obtient

   \begin{align*} \left|\int_c^df(x)\mathrm{d}x-f(\xi)\cdot\Delta x\right|&\le\int_c^d|f(x)-f(\xi)|\mathrm{d}x\\ &\le\int_c^dM\cdot|x-\xi|\mathrm{d}x\\ &=\int_c^\xi M\cdot|x-\xi|\mathrm{d}x+\int_\xi^dM\cdot|x-\xi|\mathrm{d}x\\ &=-M\cdot\int_c^\xi(x-\xi)\mathrm{d}x+M\cdot\int_\xi^d(x-\xi)\mathrm{d}x\\ &=-M\cdot\frac{(x-\xi)^2}{2}\,\Bigg\vert_c^\xi+M\cdot\frac{(x-\xi)^2}{2}\,\Bigg\vert_\xi^d\\ &=-\cancel{M\cdot\frac{(\xi-\xi)^2}{2}}+M\cdot\frac{(c-\xi)^2}{2}\\ &\quad+M\cdot\frac{(d-\xi)^2}{2}-\cancel{M\cdot\frac{(\xi-\xi)^2}{2}}\\ &=M\cdot\left(\frac{(c-\xi)^2}{2}+\frac{(d-\xi)^2}{2}\right)\\ &=M\cdot g(\xi)\\ &\le M\cdot\frac{(\Delta x)^2}{2}. \end{align*}

1. D'une part, on a

   \begin{align*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x&=\int_a^bc\,\mathrm{d}x\\ &=c\cdot x\,\Bigg\vert_a^b\\ &=c\cdot b-c\cdot a\\ &=c(b-a). \end{align*}

   D'autre part, on a

   \begin{align*} \Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf\left(a+k\cdot\Delta x\right)&=\frac{b-a}{n}\cdot\sum_{k=1}^nc\\ &=\frac{b-a}{n}\cdot nc\\ &=c(b-a). \end{align*}

2. D'une part, on a

   \begin{align*} \int_a^bg(x)\mathrm{d}x&=\int_a^bx\,\mathrm{d}x\\ &=0{,}5x^2\,\Bigg\vert_a^b\\ &=0{,}5b^2-0{,}5a^2\\ &=0{,}5(b^2-a^2). \end{align*}

   D'autre part, on a

   \begin{align*} \Delta x\cdot\sum_{k=1}^ng\left(a+k\cdot\Delta x\right)&=\frac{b-a}{n}\cdot\sum_{k=1}^n\left(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right)\\ &=\frac{b-a}{n}\cdot\sum_{k=1}^na+\frac{(b-a)^2}{n^2}\cdot\sum_{k=1}^nk\\ &=\frac{b-a}{n}\cdot na+\frac{(b-a)^2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\\ &=(b-a)a+0{,}5(b-a)^2\left(1+\frac{1}{n}\right)\\ &=0{,}5(b-a)\left(2a+b-a+\frac{b-a}{n}\right)\\ &=0{,}5(b-a)\left(b+a+\Delta x\right)\\ &=0{,}5(b^2-a^2)+0{,}5(b-a)\Delta x\\ &>0{,}5(b^2-a^2). \end{align*}

1. D'une part, on a

   \begin{align*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x&=\int_a^b(\alpha_0+\alpha_1x)\mathrm{d}x\\ &=\alpha_0x+0{,}5\alpha_1x^2\,\Bigg\vert_a^b\\ &=\alpha_0b+0{,}5\alpha_1b^2-(\alpha_0a+0{,}5\alpha_1a^2)\\ &=\alpha_0(b-a)+0{,}5\alpha_1(b^2-a^2). \end{align*}

   D'autre part, notons que les calculs de l'exercice 8.3.10 donnent

   \begin{equation*} A:=\Delta x\cdot\sum_{k=1}^n(\alpha_0-0{,}5\alpha_1\Delta x)=(\alpha_0-0{,}5\alpha_1\Delta x)(b-a) \end{equation*}

   et

   \begin{equation*} B:=\Delta x\cdot\sum_{k=1}^n(a+k\Delta x)=0{,}5(b^2-a^2)+0{,}5(b-a)\Delta x, \end{equation*}

   de sorte que, par linéarité, on a

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf\left(a+(k-0{,}5)\cdot\Delta x\right)\\ =\;&\Delta x\cdot\sum_{k=1}^n\left(\alpha_0+\alpha_1\left(a+(k-0{,}5)\cdot\Delta x\right)\right)\\ =\;&\Delta x\cdot\sum_{k=1}^n\left(\alpha_0-0{,}5\alpha_1\Delta x\right)+\alpha_1\Delta x\cdot\sum_{k=1}^n\left(a+k\cdot\Delta x\right)\\ =\;&A+\alpha_1B\\ =\;&(\alpha_0-0{,}5\alpha_1\Delta x)(b-a)+0{,}5\alpha_1(b^2-a^2)+0{,}5\alpha_1(b-a)\Delta x\\ =\;&\alpha_0(b-a)-\cancel{0{,}5\alpha_1\Delta x(b-a)}+0{,}5\alpha_1(b^2-a^2)+\cancel{0{,}5\alpha_1(b-a)\Delta x}\\ =\;&\alpha_0(b-a)+0{,}5\alpha_1(b^2-a^2). \end{align*}

2. D'une part, on a

   \begin{align*} \int_a^bg(x)\mathrm{d}x&=\int_a^b(x-a)^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{(x-a)^3}{3}\,\Bigg\vert_a^b\\ &=\frac{(b-a)^3}{3}-\frac{(a-a)^3}{3}\\ &=\frac{(b-a)^3}{3}. \end{align*}

   D'autre part, on a

   \begin{align*} &\Delta x\cdot\sum_{k=1}^ng\left(a+(k-0{,}5)\cdot\Delta x\right)\\ =\;&\Delta x\cdot\sum_{k=1}^n\left((k-0{,}5)\cdot\Delta x\right)^2\\ =\;&(\Delta x)^3\cdot\sum_{k=1}^n(k^2-k+0{,}25)\\ =\;&(\Delta x)^3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+0{,}25n\right)\\ =\;&\frac{(\Delta x)^3}{12}(2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n)\\ =\;&\frac{(\Delta x)^3}{12}(4n^3+6n^2+2n-6n^2-6n+3n)\\ =\;&\frac{(b-a)^3}{12n^3}(4n^3-n)\\ =\;&\frac{(b-a)^3}{3}-\frac{(b-a)^3}{12n^2}\\ <\;&\frac{(b-a)^3}{3}. \end{align*}

1. Grâce à la relation de Chasles, on a

   \begin{align*} \text{Ereur}&=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x-\Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\\ &=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\,\mathrm{d}x-f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\\ &=\sum_{k=1}^n\left(\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\,\mathrm{d}x-\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(\xi_k)\,\mathrm{d}x\right)\\ &=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x)-f(\xi_k))\mathrm{d}x. \end{align*}

2. Comme \(f\) vérifie les hypothèses de la formule de Taylor-Lagrange 5.3.7 avec \(n:=1\) et \(\xi_k\) à la place de \(x_0\text{,}\) il existe bien un tel \(\xi\text{.}\)

3. Comme \(\xi_k\) est le milieu de l'intervalle \([x_{k-1};x_k]\text{,}\) on a

   \begin{equation*} x_k-\xi_k=\xi_k-x_{k-1}=\frac{\Delta x}{2} \end{equation*}

   et

   \begin{align*} \int_{x_{k-1}}^{x_k}(x-\xi_k)\mathrm{d}x&=\frac{(x-\xi_k)^2}{2}\,\Bigg\vert_{x_{k-1}}^{x_k}\\ &=\frac{(x_k-\xi_k)^2}{2}-\frac{(x_{k-1}-\xi_k)^2}{2}\\ &=\frac{1}{2}\cdot\left(\left(\frac{\Delta x}{2}\right)^2-\left(-\frac{\Delta x}{2}\right)^2\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{(\Delta x)^2}{4}-\frac{(\Delta x)^2}{4}\right)\\ &=0, \end{align*}

   d'où

   \begin{align*} \int_{x_{k-1}}^{x_k}g_k(x)\mathrm{d}x&=\int_{x_{k-1}}^{x_k}\left(f(x)-f(\xi_k)-f'(\xi_k)(x-\xi_k)\right)\mathrm{d}x\\ &=\int_{x_{k-1}}^{x_k}\left(f(x)-f(\xi_k)\right)\mathrm{d}x-f'(\xi_k)\cdot\cancel{\int_{x_{k-1}}^{x_k}(x-\xi_k)\mathrm{d}x}\\ &=\int_{x_{k-1}}^{x_k}\left(f(x)-f(\xi_k)\right)\mathrm{d}x. \end{align*}

4. Grâce à la question 2, on a

   \begin{align*} |g_k(x)|&=\left|f(x)-f(\xi_k)-f'(\xi_k)(x-\xi_k)\right|\\ &=\left|\frac{f''(\xi)}{2}(x-\xi_k)^2\right|\\ &=\frac{|f''(\xi)|}{2}(x-\xi_k)^2\\ &\le\frac{M}{2}(x-\xi_k)^2 \end{align*}

   pour tout \(x\in[x_{k-1};x_k]\text{.}\)

   Grâce à la question 3 et à l'inégalité triangulaire pour l'intégrale, on en déduit que

   \begin{align*} \left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x)-f(\xi_k))\mathrm{d}x\right|&=\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}g_k(x)\mathrm{d}x\right|\\ &\le\int_{x_{k-1}}^{x_k}|g_k(x)|\mathrm{d}x\\ &\le\int_{x_{k-1}}^{x_k}\frac{M}{2}(x-\xi_k)^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{M}{2}\cdot\frac{(x-\xi_k)^3}{3}\,\Bigg\vert_{x_{k-1}}^{x_k}\\ &=\frac{M}{6}\cdot\left((x_k-\xi_k)^3-(x_{k-1}-\xi_k)^3\right)\\ &=\frac{M}{6}\cdot\left(\left(\frac{\Delta x}{2}\right)^3-\left(-\frac{\Delta x}{2}\right)^3\right)\\ &=\frac{M}{6}\cdot\left(\frac{(\Delta x)^3}{8}+\frac{(\Delta x)^3}{8}\right)\\ &=\frac{M(\Delta x)^3}{24}\\ &=\frac{M(b-a)^3}{24n^3}. \end{align*}

5. En appliquant \(k\) fois l'inégalité triangulaire à la formule de la question 1 et en utilisant pour chaque morceau l'estimation de la question 4, on obtient

   \begin{align*} |\text{Erreur}|&=\left|\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x)-f(\xi_k))\mathrm{d}x\right|\\ &\le\sum_{k=1}^n\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x)-f(\xi_k))\mathrm{d}x\right|\\ &\le\sum_{k=1}^n\frac{M(b-a)^3}{24n^3}\\ &=\frac{M(b-a)^3}{24n^3}\cdot n\\ &=\frac{M(b-a)^3}{24n^2}. \end{align*}