Section A.2 Intervalle d'encadrement
Quand on applique une méthode numérique, c'est qu'on ignore la valeur exacte de la quantité qui nous intéresse.
Il est alors essentiel de pouvoir estimer l'erreur.
En général, la théorie nous permet d'obtenir une estimation du genre suivant :
\begin{equation*}
\left|\text{Erreur}\right|\leq M\qquad\Leftrightarrow\qquad -M\leq\text{Erreur}\leq M.
\end{equation*}
En additionnant l'approximation à ce qui précède, on obtient les inéquations
\begin{equation*}
\text{Approximation}-M\;\leq\;\underbrace{\text{Approximation}+\text{Erreur}}_{\text{Valeur exacte}}\;\leq\;\text{Approximation}+M
\end{equation*}
Le plus souvent, il reste alors à effectuer des arrondissements pertinents de façon à obtenir les bornes de l'encadrement
\begin{equation*}
a\leq\text{Valeur exacte}\leq b.
\end{equation*}
Exemple A.2.1.
Supposons qu'on s'intéresse à la valeur exacte d'une intégrale pour laquelle une méthode numérique donne l'approximation
\begin{equation*}
\text{Approximation}=17{,}315\,207
\end{equation*}
avec l'estimation de l'erreur suivante :
\begin{equation*}
\left|\text{Erreur}\right|\leq 0{,}000\,004\qquad\Leftrightarrow\qquad -0{,}000\,004\leq\text{Erreur}\leq 0{,}000\,004.
\end{equation*}
On en déduit alors l'encadrement
\begin{equation*}
17{,}315\,207-0{,}000\,004\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 17{,}315\,207+0{,}000\,004
\end{equation*}
c'est-à-dire
\begin{equation*}
17{,}315\,203\leq \text{Valeur exacte}\leq 17{,}315\,211.
\end{equation*}
Exemple A.2.2.
Supposons qu'on s'intéresse à la valeur exacte d'une intégrale pour laquelle une méthode numérique donne l'approximation
\begin{equation*}
\text{Approximation}=17{,}315\,207\ldots
\end{equation*}
avec l'estimation de l'erreur suivante :
\begin{equation*}
\left|\text{Erreur}\right|\leq 0{,}000\,357\ldots
\end{equation*}
Alors on commence par arrondir par excès l'estimation de l'erreur :
\begin{equation*}
\left|\text{Erreur}\right|\leq 0{,}000\,358\qquad\Leftrightarrow\qquad -0{,}000\,358\leq\text{Erreur}\leq 0{,}000\,358
\end{equation*}
Puis on encadre l'approximation
\begin{equation*}
17{,}315\,207\leq\text{Approximation}\leq 17{,}315\,208.
\end{equation*}
Et on en déduit finalement l'encadrement suivant :
\begin{equation*}
17{,}315\,207-0{,}000\,358\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 17{,}315\,208+0{,}000\,358
\end{equation*}
c'est-à-dire
\begin{equation*}
17{,}314\,849\leq \text{Valeur exacte}\leq 17{,}315\,566.
\end{equation*}
