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Section 8.1 Présentation

Définition 8.1.1.

Soit \(a<b\) deux nombres réels et \(n\geq 1\) un entier.

On appelle subdivision régulière de l'intervalle \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de longueur

\begin{equation*} \Delta x:=\frac{b-a}{n} \end{equation*}

la suite

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

où l'on pose

\begin{equation*} x_k:=a+k\cdot\Delta x \end{equation*}

pour \(k=0,1,\ldots,n\text{.}\)

Soit l'intervalle \([a;b]=[0;1]\) et \(n=4\text{.}\)

Posons

\begin{equation*} \Delta x:=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{4}=0{,}25 \end{equation*}

et

\begin{equation*} x_k:=a+k\cdot\Delta x=k\cdot 0{,}25 \end{equation*}

pour \(k=0,1,2,3,4\text{,}\) de sorte que

\begin{equation*} \begin{cases} x_0=0,\\ x_1=0{,}25,\\ x_2=0{,}5,\\ x_3=0{,}75,\\ x_4=1. \end{cases} \end{equation*}

La subdivision régulière de l'intervalle \([0;1]\) en quatre sous-intervalles est donc la suite

\begin{equation*} 0<0{,}25<0{,}5<0{,}75<1. \end{equation*}
Remarque 8.1.3.

La subdivision régulière de l'intervalle \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

donne naissance à \(n\) sous-intervalles

\begin{equation*} [x_{k-1};x_k]. \end{equation*}

L'adjectif régulière est là pour indiquer qu'ils sont tous de même longueur

\begin{equation*} x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

Dans chaque intervalle \([x_{k-1};x_k]\text{,}\) on appellera

  • \(x_{k-1}\) le point de gauche;
  • \(x_k\) le point de droite;
  • \(\frac{x_{k-1}+x_k}{2}\) le point du milieu.

L'exemple 8.1.2, donne naissance aux quatre sous-intervalles de \([0;1]\) qui suivent :

\begin{equation*} [0;0{,}25],\;[0{,}25;0{,}5],\;[0{,}5;0{,}75]\;\text{et}\;[0{,}75;1]. \end{equation*}

Pour \([0{,}5;0{,}75]\) en particulier, on appelle

  • \(0{,}5\) le point de gauche;
  • \(0{,}75\) le point de droite;
  • \(\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625\) le point du milieu.
Remarque 8.1.5.

Soit une intégrale définie

\begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x \end{equation*}

et soit

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

la subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\ge 1\) sous-intervalles.

Alors la relation de Chasles pour l'intégration donne

\begin{align*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x&=\int_{x_0}^{x_1}f(x)\mathrm{d}x+\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{d}x+\cdots+\int_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x. \end{align*}

Avec la subdivision de l'exemple 8.1.2, on a

\begin{equation*} \int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{0{,}25}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0{,}25}^{0{,}5}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0{,}5}^{0{,}75}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0{,}75}^{1}f(x)\mathrm{d}x. \end{equation*}
Définition 8.1.8. Méthode des rectangles.

Soit une intégrale définie

\begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x \end{equation*}

et soit

\begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

la subdivision régulière de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de longueur

\begin{equation*} \Delta x:=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}

Approcher la valeur de cette intégrale par la méthode des rectangles à l'aide de cette subdivision consiste à choisir un point \(\xi_k\) dans chacun des sous-intervalles \([x_{k-1};x_k]\) et à poser

\begin{align*} \text{Approximation}&:=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot\Delta x\\ &=\Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf(\xi_k). \end{align*}

On distingue trois cas particuliers : Si pour tout \(k=1,\ldots,n\) on choisit

  • \(\xi_k:=x_{k-1}\text{,}\) on parle de méthode des rectangles à gauche;
  • \(\xi_k:=x_k\text{,}\) on parle de méthode des rectangles à droite;
  • \(\xi_k:=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}\text{,}\) on parle de méthode des rectangles au milieu, aussi connue sous le nom de méthode du point milieu.
Remarque 8.1.9.

Les approximations fournies par la méthode des rectangles ne sont rien d'autre que des sommes de Riemann.

Considérons l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

de la fonction \(f(x):=e^{-x^2}\text{,}\) et la subdivision régulière

\begin{equation*} 0<0{,}25<0{,}5<0{,}75<1 \end{equation*}

de l'intervalle d'intégration \([0;1]\) en quatre sous-intervalles de longueur

\begin{equation*} \Delta x:=0{,}25. \end{equation*}

  • La méthode des rectangles à gauche donne

    \begin{align*} \text{Approximation}&=\Delta x\cdot\left(f(0)+f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)\right)\\ &=0{,}25\cdot\left(e^{-0^2}+e^{-0{,}25^2}+e^{-0{,}5^2}+e^{-0{,}75^2}\right)\\ &\approx 0{,}821\,999\,167\,653\,951. \end{align*}

  • La méthode des rectangles à droite donne

    \begin{align*} \text{Approximation}&=\Delta x\cdot\left(f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)+f(1)\right)\\ &=0{,}25\cdot\left(e^{-0{,}25^2}+e^{-0{,}5^2}+e^{-0{,}75^2}+e^{-1^2}\right)\\ &\approx 0{,}663\,969\,027\,946\,812. \end{align*}

  • La méthode des rectangles au milieu donne

    \begin{align*} \text{Approximation}&=\Delta x\cdot\left(f(0{,}125)+f(0{,}375)+f(0{,}625)+f(0{,}875)\right)\\ &=0{,}25\cdot\left(e^{-0{,}125^2}+e^{-0{,}375^2}+e^{-0{,}625^2}+e^{-0{,}875^2}\right)\\ &\approx 0{,}748\,747\,131\,891\,009. \end{align*}

Maintenant qu'on a une méthode qui permet de calculer des approximations de la valeur exacte d'une intégrale définie, il reste à pouvoir estimer l'erreur commise.

L'idée de la démonstration qu'on donne ici peut se résumer grossièrement comme suit.

  • Sur un seul intervalle \([c;d]\)de largeur

    \begin{equation*} \Delta x:=d-c, \end{equation*}

    on peut toujours écrire

    \begin{equation*} f(t)=f(\xi)+e(t) \end{equation*}

    où \(\xi\in[c;d]\) est quelconque.

  • Si la fonction est suffisamment régulière, on peut contrôler l'erreur d'interpolation (voir exercice 6.3.12) par la majoration

    \begin{equation*} |e(t)|\le M|t-\xi| \end{equation*}

    qui donne

    \begin{equation*} \int_c^d|e(t)|\mathrm{d}t\le\frac{M(\Delta x)^2}{2} \end{equation*}

    après intégration, tandis que

    \begin{equation*} \int_c^df(\xi)\mathrm{d}t=\Delta x\cdot f(\xi). \end{equation*}

  • En appliquant ce qui précède à chaque sous-intervalle \([x_{k-1};x_k]\) de la subdivision régulière

    \begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

    et en faisant la somme de ces \(n\) morceaux, on obtient

    \begin{equation*} \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\text{Approximation}+\text{Erreur} \end{equation*}

    avec l'approximation mentionnée ci-dessus 8.1.8 et

    \begin{equation*} |\text{Erreur}|\le n\cdot\frac{M(\Delta x)^2}{2}. \end{equation*}

L'ingrédient principal de notre démonstration est l'estimation

\begin{equation*} \left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-f(\xi_k)\cdot\Delta x\right|\le\frac{M(\Delta x)^2}{2} \end{equation*}

qui découle, pour tout \(k=1,\ldots,n\text{,}\) de la question 7 de l'exercice 8.3.9.

Grâce à la relation de Chasles et à l'inégalité triangulaire de la valeur absolue, on en déduit que

\begin{align*} |\text{Erreur}|&=\left|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x-\Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\right|\\ &=\left|\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot\Delta x\right|\\ &=\left|\sum_{k=1}^n\left(\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-f(\xi_k)\cdot\Delta x\right)\right|\\ &\le\sum_{k=1}^n\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\mathrm{d}x-f(\xi_k)\cdot\Delta x\right|\\ &\le\sum_{k=1}^n\frac{M(\Delta x)^2}{2}\\ &=n\cdot\frac{M(\Delta x)^2}{2}\\ &=n\cdot\frac{M(b-a)^2}{2n^2}\\ &=\frac{M(b-a)^2}{2n}. \end{align*}

Revenons à l'exemple 8.1.10 concernant l'intégrale définie

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

à laquelle nous avons appliqué la méthode des rectangles pour \(n:=4\) rectangles.

Comme la fonction \(f(x)=e^{-x^2}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec une dérivée

\begin{equation*} f'(x)=-2xe^{-x^2} \end{equation*}

qui est continue sur \(\mathbb{R}\text{,}\) on va pouvoir appliquer le théorème 8.1.11.

Commençons par déterminer quel nombre \(M\) nous pouvons prendre. Pour tout \(x\in[0;1]\text{,}\) on a

\begin{equation*} \begin{array}{ccl} |f'(x)|&=&\left|-2xe^{-x^2}\right|\\ &=&2\cdot\left|x\right|\cdot\left|e^{-x^2}\right|\\ &\leq&2\cdot 1\cdot 1\\ &=&2. \end{array} \end{equation*}

On pose donc \(M:=2\) et on a

\begin{align*} |\text{Erreur}|&\leq\frac{M(b-a)^2}{2n}\\ &=\frac{2\cdot(1-0)^2}{2\cdot 4}\\ &=0{,}25. \end{align*}

Pour chacune des trois approximations calculées à l'exemple 8.1.10, on a donc

\begin{equation*} |\text{Erreur}|\leq 0{,}25 \end{equation*}

i.e.

\begin{equation*} -0{,}25\leq\text{Erreur}\leq 0{,}25. \end{equation*}

Une fois qu'on dispose d'une approximation de la valeur exacte de l'intégrale et d'une estimation de l'erreur commise, on est en mesure d'encadrer cette valeur exacte.

Poursuivons les exemples 8.1.10 et 8.1.12. Comme

\begin{equation*} -0{,}25\leq\text{Erreur}\leq 0{,}25 \end{equation*}

on se contentera de deux décimales.

  • Par la méthode des rectangles à gauche, on a trouvé

    \begin{equation*} \text{Approximation}\approx 0{,}821\,999\,167\,653\,951 \end{equation*}

    d'où

    \begin{equation*} 0{,}82\leq\text{Approximation}\leq 0{,}83. \end{equation*}

    En ajoutant l'encadrement de l'erreur, on obtient

    \begin{equation*} 0{,}82-0{,}25\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}83+0{,}25 \end{equation*}

    i.e.

    \begin{equation*} 0{,}57\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 1{,}08. \end{equation*}

  • Par la méthode des rectangles à droite, on a trouvé

    \begin{equation*} \text{Approximation}\approx 0{,}663\,969\,027\,946\,812 \end{equation*}

    d'où

    \begin{equation*} 0{,}66\leq\text{Approximation}\leq 0{,}67. \end{equation*}

    En ajoutant l'encadrement de l'erreur, on obtient

    \begin{equation*} 0{,}66-0{,}25\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}67+0{,}25 \end{equation*}

    i.e.

    \begin{equation*} 0{,}41\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 0{,}92. \end{equation*}

  • Par la méthode des rectangles au milieu, on a trouvé

    \begin{equation*} \text{Approximation}\approx 0{,}748\,747\,131\,891\,009 \end{equation*}

    d'où

    \begin{equation*} 0{,}74\leq\text{Approximation}\leq 0{,}75. \end{equation*}

    En ajoutant l'encadrement de l'erreur, on obtient

    \begin{equation*} 0{,}74-0{,}25\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}75+0{,}25 \end{equation*}

    i.e.

    \begin{equation*} 0{,}49\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 1{,}00. \end{equation*}

Remarque : En fait, comme la fonction \(f(x)=e^{-x^2}\) est décroissante sur \([0;1]\text{,}\) on a

\begin{equation*} \text{Aire des rectangles à droite}\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq\text{Aire des rectangles à gauche} \end{equation*}

d'où

\begin{equation*} 0{,}66\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 0{,}82. \end{equation*}

C'est mieux que tout ce qui précède, sans même avoir à estimer l'erreur.

Et si on veut obtenir un encadrement plus précis? Grâce à l'estimation d'erreur du théorème 8.1.11, on peut déterminer le nombre minimal de rectangles à considérer pour que la valeur absolue de l'erreur commise ne dépasse pas une valeur donnée.

Revenons à l'exemple 8.1.12 et cherchons combien de rectangles \(n\) il faudrait au minimum pour que la valeur absolue de l'erreur commise par la méthode des rectangles ne dépasse pas \(10^{-5}\text{,}\) i.e.

\begin{equation*} |\text{Erreur}|\leq 10^{-5}. \end{equation*}

D'après le théorème 8.1.11, il suffit pour cela que

\begin{equation*} \begin{array}{crcl} &\frac{M(b-a)^2}{2n}&\leq& 10^{-5}\\ \Leftrightarrow&\frac{2\cdot(1-0)^2}{2\cdot n}&\leq& 10^{-5}\\ \Leftrightarrow&\frac{1}{n}&\leq& 10^{-5}\\ \Leftrightarrow&10^5&\leq& n \end{array} \end{equation*}

Cela prendrait donc \(n=10^5\) rectangles au moins pour obtenir une telle précision.

Méthode des rectangles : Approcher la valeur de l'intégrale d'une fonction en la remplaçant par des morceaux constants.
  • Objectif : Obtenir des approximations de \(\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\text{.}\)

  • Principe :

    • Prendre la subdivision régulière

      \begin{equation*} a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b \end{equation*}

      de l'intervalle d'intégration \([a;b]\) en \(n\) sous-intervalles de longueur

      \begin{equation*} \Delta x:=\frac{b-a}{n}. \end{equation*}
    • Choisir un point \(\xi_k\in[x_{k-1};x_k]\) pour tout \(k=1,\ldots,n\)

    • Calculer la somme de Riemann correspondante, i.e. poser

      \begin{equation*} \text{Approximation}:=\Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf(\xi_k). \end{equation*}

  • Cas particuliers : Les choix

    • \(\xi_k:=x_{k-1}=a+(k-1)\cdot\Delta x\text{,}\)
    • \(\xi_k:=x_k=a+k\cdot\Delta x\text{,}\)
    • \(\xi_k:=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}=a+(k-0{,}5)\cdot\Delta x\text{,}\)

    donnent respectivement des rectangles à gauche, à droite, et au milieu.

  • Précision : Si la fonction \(f\) est dérivable avec une dérivée continue sur \([a;b]\) de sorte qu'il existe une constante \(M\) telle que

    \begin{equation*} |f'(x)|\leq M\quad\text{pour tout }x\in[a;b], \end{equation*}

    alors on a

    \begin{equation*} \left|\text{Erreur}\right|\leq \frac{M(b-a)^2}{2n} \end{equation*}

    où l'on définit l'erreur commise par

    \begin{equation*} \text{Erreur}:=\underbrace{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}_{\text{Valeur exacte}}-\underbrace{\Delta x\cdot\sum_{k=1}^nf(\xi_k)}_{\text{Approximation}}. \end{equation*}
  • Voir aussi : Notes de cours de Jérôme.
Remarque 8.1.15.

Lorsqu'on fait tendre \(n\) vers l'infini, l'estimation du théorème 8.1.11 entraîne

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow+\infty}|\text{Erreur}|=0, \end{equation*}

d'où

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot\Delta x=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x. \end{equation*}

Il est alors naturel de définir, plus généralement, l'intégrale d'une fonction comme limite de ses sommes de Riemann, quand cette dernière existe.

Pour finir cette présentation, voici comment utiliser le théorème 8.1.11 et l'algorithme fourni à la section suivante pour encadrer la valeur exacte d'une intégrale définie.

Nous allons appliquer la méthode des rectangles à gauche à l'intégrale

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x \end{equation*}

avec cent mille rectangles.

  • Notons \(f(x):=e^{-x^2}\text{.}\)

  • Soit \(n:=100\,000=10^5\text{,}\) \(\Delta x:=\frac{1-0}{10^5}=10^{-5}\) et

    \begin{equation*} x_k:=0+k\cdot\Delta x=k\cdot 10^{-5} \end{equation*}

    pour \(k=0,\ldots,10^5\text{.}\)

  • La subdivision régulière de l'intervalle \([0;1]\) à considérer est donc

    \begin{equation*} 0<10^{-5}<2\cdot 10^{-5}<3\cdot 10^{-5}<\ldots<99\,999\cdot 10^{-5}<1. \end{equation*}

  • Par la méthode des rectangles à gauche, on obtient alors

    \begin{align*} \text{Approximation}&=10^{-5}\cdot\left(f(0)+f\left(10^{-5}\right)+\cdots+f\left(99\,999\cdot 10^{-5}\right)\right)\\ &=0{,}746\,830\,972\,20\ldots \end{align*}

    en utilisant l'algorithme de la section 8.2, d'où

    \begin{equation*} 0{,}746\,83\le\text{Approximation}\le 0{,}746\,84. \end{equation*}

  • Comme on l'a vu à l'exemple 8.1.12, on peut prendre \(M:=2\) dans le théorème 8.1.11.

  • Comme on l'a vu à l'exemple 8.1.14, on obtient alors l'estimation

    \begin{equation*} |\text{Erreur}|\leq 10^{-5}=0{,}000\,01 \end{equation*}

    i.e.

    \begin{equation*} -0{,}000\,01\leq\text{Erreur}\leq 0{,}000\,01. \end{equation*}

  • En additionnant les inéquations qui précèdent, on obtient

    \begin{equation*} 0{,}746\,83-0{,}000\,01\leq\text{Approximation}+\text{Erreur}\leq 0{,}746\,84+0{,}000\,01 \end{equation*}

    i.e.

    \begin{equation*} 0{,}746\,82\leq\int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 0{,}746\,84. \end{equation*}

  • On en conclut que

    \begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x=0{,}746\,8\ldots \end{equation*}

    ainsi que

    \begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}\mathrm{d}x\approx 0{,}746\,8. \end{equation*}

    Sachant que la valeur exacte est \(0{,}746\,824\,132\ldots\) les quatre décimales obtenues sont bien correctes.