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Section 6.1 Présentation

Un polynôme réel \(P(t)\) de degré \(n\) au plus s'écrit

\begin{equation*} P(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n \end{equation*}

avec \(a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\text{.}\)

Les conditions \(P(x_k)=y_k\) pour tout \(k=0,1,\ldots,n\) sont alors équivalentes au système linéaire de \(n+1\) équations

\begin{equation*} \begin{cases} a_0&+&a_1x_0&+&a_2x_0^2&+&\cdots&+&a_nx_0^n&=&y_0\\ a_0&+&a_1x_1&+&a_2x_1^2&+&\cdots&+&a_nx_1^n&=&y_1\\ a_0&+&a_1x_2&+&a_2x_2^2&+&\cdots&+&a_nx_2^n&=&y_2\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\ a_0&+&a_1x_n&+&a_2x_n^2&+&\cdots&+&a_nx_n^n&=&y_n \end{cases} \end{equation*}

où les \(n+1\) inconnues sont les coefficients \(a_0,\ldots,a_n\) du polynôme cherché.

La matrice des coefficients de ce système

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^n\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n \end{bmatrix} \end{equation*}

est une matrice de Vandermonde de taille \((n+1)\times(n+1)\text{,}\) dont le déterminant vaut

\begin{equation*} \prod_{0\le i<j\leq n}(x_j-x_i). \end{equation*}

Comme les \(x_k\) sont supposés distincts deux à deux, i.e. \(x_i\ne x_j\) pour tous \(i\ne j\text{,}\) on voit que ce déterminant est non nul, ce qui entraîne que le système admet une unique solution \((a_0,\ldots,a_n)\text{.}\)

Déterminons le polynôme interpolateur \(P(t)\) des deux points suivants :

\begin{equation*} A_0=(1;-3)\;\text{et}\; A_1=(2;7). \end{equation*}

On cherche donc deux nombres réels \(a_0,a_1\) tels que

\begin{equation*} P(t)=a_0+a_1t \end{equation*}

et

\begin{equation*} \begin{cases}P(1)=-3,\\P(2)=7,\end{cases} \end{equation*}

ce qui équivaut à résoudre le système

\begin{equation*} \begin{cases} a_0&+&a_1&=&-3,\\ a_0&+&2a_1&=&7. \end{cases} \end{equation*}

Par la méthode de Cramer, on obtient

\begin{equation*} a_0=\frac{\begin{vmatrix}-3&1\\7&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{-13}{1}=-13 \quad\text{et}\quad a_1=\frac{\begin{vmatrix}1&-3\\1&7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{10}{1}=10, \end{equation*}

et on en conclut que l'unique solution de ce problème est le polynôme

\begin{equation*} P(t)=-13+10t. \end{equation*}

Déterminons le polynôme interpolateur \(P(t)\) des trois points suivants :

\begin{equation*} A_0=(1;-3),\; A_1=(2;7)\;\text{et}\; A_2=(3;0). \end{equation*}

On cherche donc trois nombres réels \(a_0,a_1,a_2\) tels que

\begin{equation*} P(t)=a_0+a_1t+a_2t^2 \end{equation*}

et

\begin{equation*} \begin{cases}P(1)=-3,\\P(2)=7,\\P(3)=0,\end{cases} \end{equation*}

ce qui équivaut à résoudre le système

\begin{equation*} \begin{cases} a_0&+&a_1&+&a_2&=&-3,\\ a_0&+&2a_1&+&4a_2&=&7,\\ a_0&+&3a_1&+&9a_2&=&0.\\ \end{cases} \end{equation*}

Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient

\begin{align*} \begin{bmatrix} 1&1&1&-3\\ 1&2&4&7\\ 1&3&9&0 \end{bmatrix} &\sim \begin{bmatrix} 1&1&1&-3\\ 0&1&3&10\\ 0&2&8&3 \end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix} 1&0&-2&-13\\ 0&1&3&10\\ 0&0&2&-17 \end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix} 1&0&0&-30\\ 0&1&0&71/2\\ 0&0&1&-17/2 \end{bmatrix} \end{align*}

et on en conclut que l'unique solution de ce problème est le polynôme

\begin{equation*} P(t)=-30+\frac{71}{2}t-\frac{17}{2}t^2. \end{equation*}

Nous allons maintenant voir une façon de calculer un polynôme interpolateur qui évite d'avoir à résoudre un système linéaire : l'interpolation de Lagrange. Cette méthode astucieuse repose sur le lemme technique suivant.

Par définition, on a

\begin{equation*} L_i(t)=\frac{(t-x_0)\cdots (t-x_{i-1})(t-x_{i+1})\cdots(t-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}. \end{equation*}

Le numérateur est le produit de \(n\) facteurs de degré \(1\) : il s'agit donc d'un polynôme de degré \(n\text{.}\) Comme les \(x_j\) sont distincts deux à deux, le dénominateur est un nombre réel non nul. Chaque polynôme \(L_i(t)\) est donc un polynôme de degré \(n\text{.}\)

  • En ce qui concerne \(L_i(x_i)\text{,}\) on a

    \begin{align*} L_i(x_i)&=\frac{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &=1. \end{align*}

  • Pour tout \(k\neq i\text{,}\) on voit que \(t-x_k\) est l'un de facteurs du numérateur de \(L_i(t)\text{,}\) d'où

    \begin{align*} L_i(x_k)&=\frac{(x_k-x_0)\cdots (x_k-x_k)\cdots(x_k-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &=\frac{0}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &=0. \end{align*}

Si \(x_0=1\) et \(x_1=2\text{,}\) alors le lemme 6.1.4 définit les deux polynômes

\begin{equation*} L_0(t)=\frac{t-x_1}{x_0-x_1}=\frac{t-2}{1-2}=(-1)(t-2) \end{equation*}

et

\begin{equation*} L_1(t)=\frac{t-x_0}{x_1-x_0}=\frac{t-1}{2-1}=t-1, \end{equation*}

et on a bien

  • \(L_0(x_0)=L_0(1)=1\) et \(L_0(x_1)=L_0(2)=0\text{;}\)
  • \(L_1(x_0)=L_1(1)=0\) et \(L_1(x_1)=L_1(2)=1\text{.}\)

Si \(x_0=1\text{,}\) \(x_1=2\) et \(x_2=3\text{,}\) alors le lemme 6.1.4 définit les trois polynômes

\begin{equation*} L_0(t)=\frac{(t-x_1)(t-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(t-2)(t-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{1}{2}(t-2)(t-3), \end{equation*}
\begin{equation*} L_1(t)=\frac{(t-x_0)(t-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(t-1)(t-3)}{(2-1)(2-3)}=(-1)(t-1)(t-3) \end{equation*}

et

\begin{equation*} L_2(t)=\frac{(t-x_0)(t-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(t-1)(t-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{1}{2}(t-1)(t-2), \end{equation*}

et on a bien

  • \(L_0(x_0)=L_0(1)=1\text{,}\) \(L_0(x_1)=L_0(2)=0\) et \(L_0(x_2)=L_0(3)=0\text{;}\)
  • \(L_1(x_0)=L_1(1)=0\text{,}\) \(L_1(x_1)=L_1(2)=1\) et \(L_1(x_2)=L_1(3)=0\text{;}\)
  • \(L_2(x_0)=L_2(1)=0\text{,}\) \(L_2(x_1)=L_2(2)=0\) et \(L_2(x_2)=L_2(3)=1\text{.}\)

Soit \(L(t):=y_0\,L_0(t)+\cdots+y_n\,L_n(t)\text{.}\) Nous devons montrer que le polynôme \(L(t)\) est de degré \(n\) au plus, et que \(L(x_i)=y_i\) pour \(i=0,1,\dots,n\text{.}\)

D'après le lemme 6.1.4, les polynômes \(L_i\) sont de degré \(n\) et vérifient

\begin{equation*} L_i(x_i)=1\quad\text{et}\quad L_i(x_k)=0\quad\text{pour tout}\;k\ne i. \end{equation*}

Il en découle immédiatement que le polynôme \(L\) est de degré \(n\) au plus, comme combinaison linéaire de polynômes de degré \(n\text{.}\)

Fixons ensuite un indice \(k\text{,}\) et notons que

\begin{align*} L(x_k)&=y_0\,L_0(x_k)+\cdots+y_k\,L_k(x_k)+\cdots+y_n\,L_n(x_k)\\ &=y_0\cdot 0+\cdots+y_k\cdot 1+\cdots+y_n\cdot 0\\ &=y_k. \end{align*}

Refaisons l'exemple 6.1.2 en utilisant la forme de Lagrange du polynôme interpolateur des points

\begin{equation*} A_0=(1;-3)\;\text{et}\; A_1=(2;7). \end{equation*}

D'après l'exemple 6.1.5, on a

\begin{equation*} L_0(t)=(-1)(t-2)\;\text{et}\; L_1(t)=t-1, \end{equation*}

d'où

\begin{align*} L(t)&=y_0\,L_0(t)+y_1\,L_1(t)\\ &=(-3)\,L_0(t)+7\,L_1(t)\\ &=(-3)(-1)(t-2)+7(t-1)\\ &=3(t-2)+7(t-1). \end{align*}

Notons qu'en développant cette dernière expression, on retrouve le polynôme

\begin{align*} L(t)&=3t-6+7t-7\\ &=-13+10t \end{align*}

trouvé à l'exemple 6.1.2.

Refaisons l'exemple 6.1.3 en utilisant la forme de Lagrange du polynôme interpolateur des points

\begin{equation*} A_0=(1;-3),\; A_1=(2;7)\quad\text{et}\; A_2=(3;0). \end{equation*}

D'après l'exemple 6.1.6, on a

\begin{align*} L_0(t)&=\frac{1}{2}(t-2)(t-3),\\ L_1(t)&=(-1)(t-1)(t-3),\\ L_2(t)&=\frac{1}{2}(t-1)(t-2), \end{align*}

d'où

\begin{align*} L(t)&=y_0\,L_0(t)+y_1\,L_1(t)+y_2\,L_2(t)\\ &=(-3)\,L_0(t)+7\,L_1(t)+0\,L_2(t)\\ &=(-3)\frac{1}{2}(t-2)(t-3)+7(-1)(t-1)(t-3)+0\frac{1}{2}(t-1)(t-2)\\ &=-\frac{3}{2}(t-2)(t-3)-7(t-1)(t-3). \end{align*}

Notons qu'en développant cette dernière expression, on retouve le polynôme

\begin{align*} L(t)&=-\frac{3}{2}(t^2-5t+6)-7(t^2-4t+3)\\ &=-\frac{18}{2}-21+\frac{15}{2}t+28t-\frac{3}{2}t^2-7t^2\\ &=-30+\frac{71}{2}t-\frac{17}{2}t^2 \end{align*}

trouvé à l'exemple 6.1.3.

Interpolation de Lagrange : Faire passer un polynôme de degré \(n\) au plus par \(n+1\) points d'abscisses distinctes deux à deux.
  • Objectif : Étant donné \(n+1\) points \(A_0=(x_0;y_0),\ldots,A_n=(x_n;y_n)\) d'abscisses distinctes deux à deux, déterminer le seul polynôme \(L(t)\) de degré \(n\) au plus qui passe par tous ces points.

  • Principe : Construire ce polynôme comme combinaison linéaire des polynômes

    \begin{equation*} L_i(t):=\prod_{j\neq i}\frac{t-x_j}{x_i-x_j} \end{equation*}

    en posant

    \begin{equation*} L(t):=y_0\,L_0(t)+\cdots+y_n\,L_n(t). \end{equation*}
  • Terminologie : On appelle \(L(t)\) le polynôme interpolateur des points \(A_0,\ldots,A_n\text{.}\) Et on dit que \(y_0\,L_0(t)+\cdots+y_n\,L_n(t)\) est sa forme de Lagrange.
  • Estimations : L'interpolation polynomiale est souvent utilisée pour estimer les valeurs prises par une fonction continue dont on ne connaît qu'un nombre fini de valeurs.
  • Formule d'erreur : Quand on effectue l'approximation d'une fonction suffisamment régulière par un polynôme interpolant certains points de son graphe, on dispose d'une formule permettant de contrôler l'erreur commise (voir l'exercice 6.3.12).
  • Voir aussi : Notes de cours de Jérôme.