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Section 2.4 Des applications des polynômes de Taylor

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

On s'intéresse à la fonction \(f(x)=\sqrt[3]{x}\text{.}\)

  1. Quel est le polynôme de Taylor \(T_2\) de degré \(2\) de \(f\) centré en \(a=8\text{?}\)
  2. Estimez l'erreur de l'approximation de \(f(x)\) par \(T_2(x)\) lorsque \(7\leq x\leq 9\text{.}\)
Réponse
  1. \(\displaystyle T_2(x)=2+\frac{1}{12}(x-8)-\frac{1}{288}(x-8)^2\text{.}\)
  2. \(|\text{Erreur}|\leq\frac{0{,}002\,1}{6} < 0{,}000\,4\text{.}\)

Selon la théorie d'Einstein de la relativité restreinte, la masse d'un objet en mouvement à la vitesse \(v\) est donnée par la formule

\begin{equation*} m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{equation*}

où \(m_0\) désigne la masse de l'objet au repos et \(c\) la vitesse de la lumière. L'énergie cinétique \(K\) de l'objet est la différence entre son énergie totale et son énergie au repos :

\begin{equation*} K=mc^2-m_0c^2 \end{equation*}
  1. Montrez que lorsque \(v\) est très petit par rapport à \(c\text{,}\) l'expression de \(K\) s'accorde avec la formule newtonienne classique \(K=\frac{1}{2}m_0v^2\text{.}\)
  2. Utilisez l'inégalité de Taylor pour estimer la différence entre ces expressions de \(K\) lorsque \(v\leq 100\,m/s\text{.}\)
Réponse
  1. \(\displaystyle K=m_0c^2\left(\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^8}+\frac{5}{16}\frac{v^6}{c^6}+\ldots\right)\approx\frac{1}{2}m_0v^2\text{.}\)
  2. Au plus \(4{,}2\times 10^{-10}m_0\text{.}\)

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 32, 34, 44 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Outils 2.4.1. Le projet de loi \(\pi\) de l'Indiana.

Avec les techniques apprises dans ce chapitre, vous êtes maintenant en mesure de réfuter le projet de loi \(\pi\) de l'Indiana. Rendez-vous à la section 3 consacrée à la série de Leibniz.