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Section 1.5 La convergence absolue, le test du rapport et le critère de Cauchy

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Les séries suivantes sont-elles absolument convergentes ou simplement convergentes?

  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)
Réponse
  1. Absolument convergente.
  2. Simplement convergente.

Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos n}{n^2}\text{?}\)

Réponse

Absolument convergente, donc convergente.

Quelle est la nature des séries suivantes?

  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}n^3}{3^n}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^n}{n!}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2n+3}{3n+2}\right)^n\)
Réponse
  1. Convergente.
  2. Divergente.
  3. Convergente.

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 4, 6, 8, 10, 12, 20, 32, 34, 36, 38, 40 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Outils 1.5.1. Et si on change l'ordre des termes?

Lorsqu'une série converge absolument, on peut changer l'ordre de ses termes comme on veut sans modifier la valeur de la somme. Cette propriété caractérise même les séries absolument convergentes.

Ce n'est donc plus le cas pour une série simplement convergente. Par exemple, on a

\begin{equation*} 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots=\ln(2) \end{equation*}

alors que

\begin{equation*} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\ldots=\frac{3}{2}\ln(2). \end{equation*}