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Section 1.1 Les suites

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Pour chacune des suites suivantes, représentez les cinq premiers termes dans un même graphique.

  1. \(\left\{a_n\right\}_{n=0}^{+\infty}\) où \(a_n=\frac{n}{n+1}\) pour tout \(n\geq 0\text{.}\)

  2. \(\left\{f_n\right\}_{n=1}^{+\infty}\) où \(f_1=f_2=1\) et \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\) pour tout \(n\geq 3\text{.}\)

Solution

  1. Graphique Desmos.

  2. Graphique Desmos.

Déterminez la limite des suites suivantes.

  1. \(\displaystyle \displaystyle\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=0}^{+\infty}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=7}^{+\infty}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\left\{\frac{n^4-3n^2+7}{5n^4+8n-2}\right\}_{n=1}^{+\infty}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle\left\{\frac{n^4-3n^2+7}{5n^3+8n-2}\right\}_{n=2}^{+\infty}\)
  5. \(\displaystyle \displaystyle\left\{\frac{n^4-3n^2+7}{\sqrt{n^9+n^3+1}}\right\}_{n=1}^{+\infty}\)
Indication

Mettez en évidence les termes dominants.

Réponse
  1. \(\displaystyle 1\)
  2. \(\displaystyle 1\)
  3. \(\displaystyle \frac{1}{5}\)
  4. \(\displaystyle +\infty\)
  5. \(\displaystyle 0\)

Calculez les limites suivantes.

  1. \(\displaystyle \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\ln n}{n}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^n}{n}\)
Indication

Utilisez la règle de l'Hospital pour la fonction sous-jacente.

Réponse
  1. \(\displaystyle 0\)
  2. \(\displaystyle +\infty\)

Dites si les suites suivantes sont convergentes. Si elles convergent, indiquez vers quelle valeur.

  1. \(\displaystyle \left\{(-1)^n\right\}\)
  2. \(\displaystyle \left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}_{n\geq 1}\)
  3. \(\displaystyle \left\{n\sin(2/n)\right\}_{n\geq 5}\)
  4. \(\displaystyle \left\{\frac{\cos n}{\ln n}\right\}_{n\geq 2}\)
  5. \(\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n\geq 1}\)
  6. \(\displaystyle \left\{\frac{n!}{n^n}\right\}_{n\geq 1}\)
  7. \(\displaystyle \left\{\frac{n^n}{n!}\right\}_{n\geq 1}\)
  8. \(\displaystyle \left\{r^n\right\}_{n\geq 0}\)
Réponse
  1. Cette suite diverge.
  2. Cette suite converge vers \(0\text{.}\)
  3. Cette suite converge vers \(2\text{.}\)
  4. Cette suite converge vers \(0\text{.}\)
  5. Cette suite converge vers \(e\text{.}\)
  6. Cette suite converge vers \(0\text{.}\)
  7. Cette suite diverge.
  8. Une suite géométrique de raison \(r\) converge vers \(0\) si \(|r| < 1\text{,}\) vers \(1\) si \(r=1\text{,}\) et sinon elle diverge.

Les suites suivantes sont-elles monotones?

  1. \(\displaystyle \left\{\frac{n!}{3^n}\right\}_{n\geq 0}\)
  2. \(\displaystyle \left\{\frac{n}{n^2+1}\right\}_{n\geq 1}\)
  3. \(\displaystyle \left\{2+\frac{(-1)^n}{n}\right\}_{n\geq 1}\)
Réponse
  1. Cette suite est croissante à partir du rang \(n=2\text{.}\)
  2. Cette suite est décroissante.
  3. Cette suite n'est pas monotone.

Les suites suivantes sont-elles bornées?

  1. \(\displaystyle \left\{n^2+3\right\}_{n\geq 1}\)
  2. \(\displaystyle \left\{(-5)^n\right\}_{n\geq 0}\)
  3. \(\displaystyle \left\{\frac{1}{3n+7}\right\}_{n\geq 0}\)
  4. \(\displaystyle \left\{2+\frac{(-1)^n}{n}\right\}_{n\geq 1}\)
Réponse
  1. Cette suite est bornée inférieurement, mais pas supérieurement.
  2. Cette suite n'est ni bornée inférieurement, ni bornée supérieurement.
  3. Cette suite est bornée inférieurement et supérieurement.
  4. Cette suite est bornée inférieurement et supérieurement.

On s'intéresse à la suite \(\left\{a_n\right\}\) définie par récurrence de la façon suivante :

\begin{equation*} a_1=1\qquad\mbox{et}\qquad a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}\quad\mbox{ pour tout }n\geq 1. \end{equation*}

En admettant qu'elle converge, calculez sa limite.

Réponse

\(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

On s'intéresse à la suite \(\left\{a_n\right\}\) définie par récurrence de la façon suivante :

\begin{equation*} a_1=2\qquad\mbox{et}\qquad a_{n+1}=\frac{1}{3-a_n}\quad\mbox{ pour tout }n\geq 1. \end{equation*}

Montrez qu'elle satisfait \(0<a_n\leq 2\) pour tout \(n\geq 1\text{,}\) et qu'elle est décroissante.

Déduisez-en que cette suite converge et trouvez sa limite.

Indication

Pour la première partie, utilisez une preuve par induction.

Réponse

Cette suite converge vers \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\text{.}\)

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 6, 12, 24, 26, 28, 30, 32, 42, 74, 80, 82 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant passer aux exercices prioritaires de cette section.

Outils 1.1.1. Une suite trompeuse.

On place \(n\) points sur un cercle et on les relie deux par deux avec des segments. On suppose en outre qu'aucun point intérieur au cercle n'est l'intersection de plus de deux segments. Cela divise le cercle en \(a_n\) régions.

On calcule facilement les premiers termes : \(a_2=2, a_3=4, a_4=8, a_5=16\text{.}\)

Il est alors tentant de conjecturer que \(a_n=2^{n-1}\) pour tout \(n\geq 2\text{.}\)

Est-ce correct? Sinon, combien vaut \(a_n\text{?}\)

Réponse

C'est faux car, par exemple, \(a_6=31\neq 2^4\text{.}\) En fait, on a

\begin{equation*} a_n=\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{3}+\binom{n-1}{4}. \end{equation*}

Voici maintenant quelques lignes de code en lien avec le contenu de cette section. Sauriez-vous en prédire le résultat?

Exploration 1.1.2. La conjecture de Syracuse.

Toute suite de Syracuse finit-elle par atteindre la valeur \(1\text{?}\) Voir la page Wikipédia pour plus de détails.