Calcul avancé

Les séries suivantes sont-elles convergentes ou divergentes?

1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{1/3}}\)

Appliquez le test de l'intégrale pour déterminer si les séries suivantes convergent.

1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+1}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n}\)

On s'intéresse à la série géométrique convergente \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=1\text{,}\) à ses sommes partielles \(S_k=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2^n}\) et à ses restes \(R_k=\displaystyle\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\text{.}\)

Notez que

ou encore

1. Calculez \(S_2\) et \(R_2\text{.}\)
2. Calculez \(S_7\) et \(R_7\text{.}\)
3. Calculez \(S_{25}\) et \(R_{25}\text{.}\)
4. Qu'observez-vous?

On s'intéresse à la série de Riemann convergente \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\text{.}\)

1. Estimez l'erreur commise si on approche la somme de cette série par la somme partielle \(\displaystyle S_{10}=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n^3}\text{.}\)
2. Combien de termes faut-il additionner pour s'assurer que l'erreur d'approximation soit inférieure à \(0{,}000\,5\text{?}\)

Appliquez le test de comparaison pour déterminer si les séries suivantes convergent.

1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5}{2n^2+4n+3}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n}\)

Appliquez la forme limite du test de comparaison pour déterminer si les séries suivantes convergent.

1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n-1}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^5}}\)