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Section 1.2 Les séries

Voici une une application qui donne la valeur de la somme partielle

\begin{equation*} S_k=\sum_{n=n_0}^ka(n) \end{equation*}

et qui représente graphiquement les sommes partielles de la série

\begin{equation*} \sum_{n\geq n_0}a(n) \end{equation*}

de \(S_{n_0}\) jusqu'à \(S_k\text{.}\)

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

  1. Utilisez l'application ci-dessus pour évaluer les sommes partielles suivantes :

    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{2}\frac{1}{2^n}\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{7}\frac{1}{2^n}\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{25}\frac{1}{2^n}\)

  2. La série \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\) est-elle convergente? Si oui, quelle est sa somme?

Réponse
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{2}\frac{1}{2^n}=1,75\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{7}\frac{1}{2^n}=1,9921875\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{25}\frac{1}{2^n}\approx 1,99999999\)

  2. Convergente, de somme \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2\text{.}\)

  1. Utilisez l'application ci-dessus pour évaluer les sommes partielles suivantes :

    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{2}2^n\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{7}2^n\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{25}2^n\)

  2. La série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}2^n\) est-elle convergente? Si oui, quelle est sa somme?

Réponse
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{2}2^n=6\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{7}2^n=254\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{25}2^n\approx 6,7\times 10^7\)

  2. Divergente.

Déterminez la nature des séries suivantes à l'aide de l'application ci-dessus.

  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(n)\)
  5. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(n)}{n^2}\)
Réponse
  1. Convergente.
  2. Divergente.
  3. Convergente.
  4. Divergente.
  5. Convergente.

Trouvez la somme de la série géométrique suivante :

\begin{equation*} 5-\frac{10}{3}+\frac{20}{9}-\frac{40}{27}+\ldots \end{equation*}
Réponse

\(3\)

La série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}2^{2n}3^{1-n}\) est-elle convergente ou divergente?

Réponse

Divergente.

Écrivez le nombre \(2,3171717\ldots\) sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.

Réponse

\(\displaystyle\frac{1147}{495}\)

Montrez que la série suivante converge et calculez sa somme :

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}. \end{equation*}
Réponse

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1\)

Montrez que la série harmonique

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}. \end{equation*}

diverge.

Montrez que la série

\begin{equation*} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{5n^2+4} \end{equation*}

diverge.

Trouvez la somme de la série suivante :

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^n}\right). \end{equation*}
Réponse

\(4\)

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 18, 22, 24, 32, 34, 36, 44, 54, 60, 76 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Exploration 1.2.1. Pavage.

On a calculé plus haut la somme de la série télescopique suivante :

\begin{equation*} \sum_{k=1}\frac{1}{k(k+1)}=1. \end{equation*}

Est-il possible de paver un carré \(1\times 1\) par une infinité de rectangles de côtés

\begin{equation*} \frac{1}{k}\times\frac{1}{k+1} \end{equation*}

où \(k=1, 2, 3, \ldots\text{?}\)