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Section 2.5 Les nombres complexes

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Donnez la forme cartésienne des nombres complexes suivants :

  1. \(\displaystyle (-1+3i)\cdot(2-5i)\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\frac{-1+3i}{2+5i}\)
  3. \(x\) tel(s) que \(x^2+x+1=0\)
Réponse
  1. \(\displaystyle 13+11i\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\frac{13}{29}+\frac{11}{29}i\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\)

Voici comment effectuer ces deux premiers calculs dans GeoGebra Classique, et représenter les résultats dans le plan d'Argand-Cauchy : calculs dans le plan complexe avec GeoGebra.

Et voilà comment résoudre l'équation quadratique avec Sage : Sage.

Donnez les nombres complexes suivants sous forme cartésienne :

  1. \(\displaystyle \displaystyle e^{i\pi}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle e^{-1+i\frac{\pi}{2}}\)
Réponse
  1. \(\displaystyle \displaystyle -1\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle \frac{i}{e}\)

Voici comment effectuer ces calculs dans GeoGebra Classique, et représenter les résultats dans le plan d'Argand-Cauchy : GeoGebra.

Donnez la forme polaire des nombres complexes suivants :

  1. \(\displaystyle \displaystyle 1+i\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sqrt{3}-i\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle(1+i)(\sqrt{3}-i)\)
Réponse
  1. \(\displaystyle \displaystyle\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}\)

Voici comment effectuer ces calculs dans GeoGebra Classique, et représenter les résultats dans le plan d'Argand-Cauchy : GeoGebra. On utilise la commande abs() pour le module, et arg() pour l'argument.

Exprimez \(\displaystyle\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)^{10}\) sous forme cartésienne.

Réponse

\(\displaystyle\frac{1}{32}i\)

Voici comment effectuer ces calculs dans GeoGebra Classique, et représenter les résultats dans le plan d'Argand-Cauchy : GeoGebra. On utilise les commandes Re() pour calculer la partie réelle, et Im() pour la partie imaginaire.

Exprimez les six racines sixièmes de \(-8\) sous forme cartésienne.

Réponse
  • \(\displaystyle \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
  • \(\displaystyle \displaystyle\sqrt{2}i\)
  • \(\displaystyle \displaystyle-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
  • \(\displaystyle \displaystyle-\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
  • \(\displaystyle \displaystyle-\sqrt{2}i\)
  • \(\displaystyle \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\)

Voici comment résoudre ce problème grâce à la fonction RacineComplexe() dans Geogebra Classique : racines n-ièmes avec GeoGebra.

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 2, 4, 6, 8, 16, 20, 22, 34, 40, 42, 46, 50, 52, 54 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Outils 2.5.1. Formules de trigonométrie.

Partez de l'identité suivante

\begin{equation*} e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib} \end{equation*}

pour établir les formules de trigonométrie permettant de calculer \(\cos(a+b)\) et \(\sin(a+b)\) à l'aide du cosinus et du sinus des angles \(a\) et \(b\text{.}\)