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Section 3.1 Les fonctions de plusieurs variables

Il est recommandé d'utiliser Geogebra pour visualiser les objets en 3D . Voici par exemple comment :

Le code qui suit produit une application qui trace le diagramme des courbes de niveau et le graphe d'une fonction donnée.

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Pour chacune des fonctions \(f\) suivantes, donnez le domaine et l'image, puis calculez \(f(-4)\) et \(f(10)\text{.}\)

  1. \(\displaystyle f(x)=x^2\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}\)
Réponse
    • domaine = \(\mathbb{R}\) et image = \([0;+\infty[\)
    • \(f(-4)=16\) et \(f(10)=100\)
    • domaine = \([-5;5]\) et image = \([0;5]\)
    • \(f(-4)=3\) et \(f(10)\) n'existe pas

On s'intéresse à la fonction de deux variables \(f(x;y)=\sqrt{25-x^2-y^2}\text{.}\)

  1. Déterminez le domaine de \(f\) et représentez-le graphiquement.
  2. Déterminez l'image de \(f\text{.}\)
  3. Évaluez \(f(-4;1)\) et \(f(10;0)\)
Réponse

Voici comment représenter cette fonction avec GeoGebra.

  1. domaine = \(\{(x;y)\in\mathbb{R}^2\;|\;x^2+y^2\leq 25\}\) disque fermé de rayon 5 centré à l'origine
  2. image = \([0;5]\)
  3. \(f(-4;1)=\sqrt{8}\) et \(f(10;0)\) n'existe pas

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez le domaine puis représentez-le graphiquement.

  1. \(\displaystyle \displaystyle f(x;y)=\frac{\sqrt{1-x-y}}{x-3}\)
  2. \(\displaystyle f(x;y)=x\ln(x^2-y)\)
Réponse
  1. domaine = \(\{(x;y)\in\mathbb{R}^2\;|\;y\leq -x+1\mbox{ et }x\neq 3\}\)
  2. domaine = \(\{(x;y)\in\mathbb{R}^2\;|\;y < x^2\}\)

Tracez le graphe de \(f(x;y)=-3x-4y+12\)

Réponse

Il s'agit du plan passant par les points \((4;0;0)\text{,}\) \((0;3;0)\) et \((0;0;12)\text{.}\)

Voici le représenter avec GeoGebra.

On s'intéresse à la fonction \(f\) dont le diagramme des courbes de niveau est donné ci-dessous. Estimez \(f(5;4)\) et \(f(1;2)\text{.}\)

Réponse

\(f(5;4)\approx 69\) et \(f(1;2)\approx 69\)

Tracez les courbes de niveau de la fonction \(f(x;y)=6-3x-2y\) pour \(k=-6, 0, 6, 12\text{.}\)

Réponse

Tracez les courbes de niveau de la fonction \(g(x;y)=\sqrt{9-x^2-y^2}\) pour \(k=-0, 1, 2, 3\text{.}\)

Réponse

Pour chacune des fonctions suivantes, décrivez en mots l'allure générale des courbes de niveau puis faites une esquisse du graphe.

  1. \(\displaystyle \displaystyle f(x;y)=x^2+y^2\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle f(x;y)=9-x^2-y^2\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle f(x;y)=y\)
Réponse
    • courbes de niveau \(x^2+y^2=k\) : cercles de rayons \(\sqrt{k}\) centrés à l'origine
    • graphe \(z=x^2+y^2\) : paraboloïde circulaire de sommet \((0;0;0)\text{,}\) dont l'axe est celui des z, ouvert vers le haut
    • courbes de niveau \(x^2+y^2=9-k\) : cercles de rayons \(\sqrt{9-k}\) centrés à l'origine
    • graphe \(z=9-x^2-y^2\) : paraboloïde circulaire de sommet \((0;0;9)\text{,}\) dont l'axe est celui des z, ouvert vers le bas
    • courbes de niveau \(y=k\) : droites parallèles à l'axe des x, également espacées pour des valeurs de k prises à intervalles réguliers
    • graphe \(z=y\) : plan faisant un angle de 45 degrés avec le plan \(\{z=0\}\)

Complétez ce document. En voici le solutionnaire.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 4, 10, 14, 18, 26, 28, 34, 42, 50, 58 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.