Avancer

Section 2.3 Les séries de Taylor et de Maclaurin

Voici une application qui calcule et représente graphiquement le polynôme de Taylor de degré au plus \(n\) centré en \(a\) d'une fonction donnée.

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Trouvez la série de Taylor de \(e^x\) centrée en \(a=2\text{.}\)

Réponse

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^2}{n!}(x-2)^n\)

On s'intéresse à la fonction \(f(x)=\sin(x)\text{.}\)

  1. Quelle est la série de Maclaurin de \(f\text{?}\)
  2. Sur quel intervalle \(f\) est-elle égale à la somme de sa série de Maclaurin?
  3. Quelle est la série de Maclaurin de \(g(x)=x\cos(x)\text{?}\)
Réponse
  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
  2. \(\displaystyle \mathbb{R}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n)!}\)

Trouvez la série de Maclaurin de \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4-x}}\text{.}\)

Réponse

\(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{-1/2}{n}\left(-\frac{x}{4}\right)^n\)

Calculez la somme de la série suivante :

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n2^n}. \end{equation*}
Réponse

\(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\)

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}. \end{equation*}
Réponse

\(\frac{1}{2}\)

Estimez l'intégrale suivante avec une erreur inférieure à \(0{,}001\) :

\begin{equation*} \int_0^1e^{-x^2}dx. \end{equation*}
Réponse

\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216}\approx 0{,}747\,5\)

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 4, 8, 16, 30, 58, 70, 84 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.