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Section 3.2 Les limites et la continuité

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3} \end{equation*}
Réponse

\(6\)

Solution
  • En évaluant directement en \(x=3\text{,}\) on obtient la forme indéterminée \(\frac{0}{0}\text{.}\)
  • Grâce à l'algèbre, on lève l'indétermination et on trouve :
    \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(\cancel{x-3})(x+3)}{\cancel{x-3}}=3+3=6 \end{equation*}
  • Pour l'approche graphique de la question, voir Desmos.

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{(x;y)\rightarrow (5;2)\;,\,2x-5y\neq 0}\frac{4x^2-25y^2}{2x-5y} \end{equation*}
Réponse

\(20\)

Pour l'approche graphique de la question, voir Geogebra 3D.

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{equation*}
Réponse

\(0\)

Solution
  • En évaluant directement en \(x=0\text{,}\) on obtient une indétermination liée au fait que la fonction sinus n'a pas de limite en \(\frac{1}{0^+}=+\infty\) ni en \(\frac{1}{0^-}=-\infty\text{.}\)
  • Comme \(|\sin(t)|\leq 1\) pour tout nombre réel \(t\text{,}\) on a l'encadrement :
    \begin{equation*} 0\leq \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq |x| \end{equation*}
  • Puisque \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\text{,}\) le théorème du sandwich nous permet de conclure que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|=0\text{.}\)
  • Finalement, on en déduit que
    \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0 \end{equation*}

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{(x;y)\rightarrow (0;0)}\frac{x^3\cos(y)}{x^2+y^2} \end{equation*}
Réponse

\(0\)

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x} \end{equation*}
Réponse

n'existe pas

Solution
  • Limite à gauche :
    \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-x}{x}=-1 \end{equation*}
  • Limite à droite :
    \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{x}=1 \end{equation*}
  • Nouvelle terminologie : ces deux limites correspondent à deux façons de tendre vers \(0\) selon deux chemins différents.
  • Conclusion : comme ces deux limites sont différentes, la limite en \(0\) n'existe pas.

Calculez la limite suivante :

\begin{equation*} \lim_{(x;y)\rightarrow (0;0)}\frac{xy}{x^2+y^2} \end{equation*}
Réponse

n'existe pas

Voici une approche graphique avec Desmos 3D.

On s'intéresse à la fonction

\begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2-9}{x-3}& \mbox{ si }x\neq 3\\ 2 & \mbox{ si }x=3 \end{array}\right. \end{equation*}

Déterminez l'ensemble des points où elle est continue.

Réponse

\(\mathbb{R}\setminus\{3\}\)

Solution
  • La fonction \(x\mapsto\frac{x^2-9}{x-3}\) est continue sur son domaine comme toutes les fonctions usuelles. Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) et il reste à étudier la continuité en \(x=3\text{.}\)
  • Comme on l'a vu plus haut, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}=6\) donc \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\neq f(3)\) et la fonction \(f\) est discontinue en \(x=3\text{.}\)

On s'intéresse à la fonction

\begin{equation*} f(x;y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^3\cos(y)}{x^2+y^2}& \mbox{ si }(x;y)\neq (0;0)\\ 7 & \mbox{ si }(x;y)=(0;0) \end{array}\right. \end{equation*}

Déterminez l'ensemble des points où elle est continue.

Réponse

\(\mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\)

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 14, 16, 18, 20, 30, 38, 42 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.