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Section 5 Coniques

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Les courbes définies par une équation quadratique à deux variables \((x\,;\,y)\)

\begin{equation*} Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 \end{equation*}

s'appellent des coniques.

La technique de la complétion du carré et un peu de géométrie permettent de se ramener à l'une des quatre situations suivantes :

  1. Ellipses : \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
  2. Paraboles : \(\displaystyle\frac{y}{c}=\frac{x^2}{a^2}\)
  3. Hyperboles : \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
  4. Coniques dégénérées (deux droites) : \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}\)

Utilisez un outil informatique pour visualiser ces différents types de courbes.

Réponse

Voici comment faire avec Desmos : types de coniques avec Desmos.

On considère la conique dont l'équation est la suivante :

\begin{equation*} 25x^2+9y^2+100x-18y-116=0 \end{equation*}
  1. Complétez les carrés.
  2. Mettez cette équation sous la forme d'un des quatre types vus à l'exercice précédent.
  3. De quel type de conique s'agit-il?
  4. Quel est son centre?
Réponse
  1. \(\displaystyle \displaystyle 25(x+2)^2+9(y-1)^2-225=0\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\frac{(x+2)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{25}=1\)
  3. Conique.
  4. \(\displaystyle (-2\,;\,1)\)

Ce qui suit ne concerne que la session hiver 2018 :

Complétez le document suivant : Annexe I - Coniques. Voici le solutionnaire.