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Section 3 La série de Leibniz

Le but de cette section est de développer un exemple pas à pas pour comprendre les concepts fondamentaux du chapitre 2 concernant les séries entières et les séries de Taylor. On commence avec la fonction \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}\text{.}\)

  1. Pour tout \(x\in ]-1\,;\,1[\text{,}\) \(f(x)\) est égal à la somme de la série géométrique de raison \(r=x\) et de premier terme \(a=1\text{:}\)

    \begin{equation*} \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n \end{equation*}

    On vient ainsi de développer la fonction \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}\) en série entière autour de \(0\text{.}\)

  2. Par le théorème 2 page 62, on peut...

    • dériver ce développement en série entière (DSE) terme à terme, ce qui donne :

      \begin{equation*} \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n\qquad\forall x\in ]-1\,;\,1[ \end{equation*}

      On obtient ainsi le DSE autour de \(0\) d'une nouvelle fonction.

    • intégrer ce DSE terme à terme, ce qui donne, après ajustement de la constante d'intégration :

      \begin{equation*} -\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\qquad\forall x\in ]-1\,;\,1[ \end{equation*}

      En remplaçant x par 1/2, on en déduit la formule suivante :

      \begin{equation*} \ln(2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n2^n} \end{equation*}

  3. Application : approximation de \(\pi\) à l'aide de la série de Leibniz.

    1. En remplaçant \(x\) par \(-x^2\) dans le DSE de \(f(x)\text{,}\) on trouve :
      \begin{equation*} \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}\qquad\forall x\in ]-1\,;\,1[ \end{equation*}
    2. En intégrant terme à terme le DSE précédent, on obtient, après ajustement de la constante d'intégration :
      \begin{equation*} \arctan(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\qquad\forall x\in ]-1\,;\,1[ \end{equation*}
    3. En faisant tendre \(x\) vers \(1\) terme à terme dans le DSE précédent, on a :
      \begin{equation*} \arctan(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1} \end{equation*}
    4. En multipliant l'équation précédente par 4, on obtient \(\pi\) comme somme d'une série satisfaisant les conditions d'application du test des séries alternées :
      \begin{equation*} \pi=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{4}{2n+1} \end{equation*}
    5. Explicitons le regroupement de termes \(\displaystyle S=S_{19}+R_{19}\) pour la série donnant \(\pi\) ci-dessus. Cela donne:
      \begin{equation*} \pi=\sum_{n=0}^{19}(-1)^n\frac{4}{2n+1}+\sum_{n=20}^{+\infty}(-1)^n\frac{4}{2n+1} \end{equation*}
      \begin{equation*} \pi=\underbrace{4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\ldots-\frac{4}{39}}_{S_{19}}+\underbrace{\frac{4}{41}-\frac{4}{43}+\ldots}_{R_{19}} \end{equation*}

    6. Calculons \(S_{19}\) et estimons \(R_{19}\text{.}\) On obtient :

      \begin{equation*} S_{19}=\sum_{n=0}^{19}(-1)^n\frac{4}{2n+1}=\frac{516197940314096}{166966608033225}\approx 3,09 \end{equation*}
      \begin{equation*} |R_{19}|\leq \frac{4}{41}\approx 0,098 \end{equation*}
    7. Concluons en encadrant \(\pi\) :
      \begin{equation*} 3,0 < S_{19} < 3,1 \end{equation*}
      \begin{equation*} 0 < R_{19} < 0,1 \end{equation*}
      \begin{equation*} 3,0+0 < S_{19}+R_{19} < 3,1+0,1 \end{equation*}
      \begin{equation*} 3,0 < \pi < 3,2 \end{equation*}

    8. Remarques :

      • Le fait qu'on ait le droit d'effectuer des opérations comme la dérivation, l'intégration ou la limite terme à terme dans un DSE n'est pas évident. Il y a de vrais théorèmes cachés derrière. Pour le point 3 c. par exemple, on peut invoquer un théorème attribué à Abel.
      • Dans le cadre du test des séries alternées, la valeur absolue de l'erreur est inférieure à la valeur absolue du premier terme oublié. De plus, l'erreur est positive si le premier terme oublié est positif, et elle est négative dans le cas contraire.
      • Quand on augmente \(n\text{,}\) on fait diminuer l'erreur \(R_n\text{.}\) Dans le cas de cette série, l'erreur ne diminue pas très vite : il faudrait se rendre très loin dans la somme partielle pour commencer à obtenir un nombre satisfaisant de décimales correctes pour la somme \(S=\pi\text{.}\)
      • L'estimation obtenue ci-dessus est toutefois suffisante pour réfuter la proposition de loi No 246 qui faillit être adoptée en 1897 par l'Assemblée législative de l'Indiana. Si on en croit Wikipedia, cette dernière impliquait entre autres que \(\pi\) serait égal à 3,2.