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Section 2 Bornes d'erreur

  1. Une somme partielle (finie) donne une valeur approchée de la somme (infinie) d'une série convergente. Pour qu'une telle approximation soit utile, il est important de pouvoir contrôler l'erreur commise, c'est-à-dire la différence entre la valeur de la somme \(S\) et celle de la somme partielle \(S_n\) utilisée. Cette différence, notée \(R_n\text{,}\) s'appelle le reste.

  2. Le but des points qui suivent consiste à se familiariser avec le concept de borne d'erreur pour l'estimation d'une somme de série.

    Voici les solutions aux questions posées ci-après : Corrigé

  3. Dans l'exemple 5 page 32, on s'intéresse à la somme de la série suivante :

    \begin{equation*} S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} \end{equation*}
    1. Calculez la valeur exacte de la somme partielle suivante :
      \begin{equation*} S_3=\sum_{n=1}^3\frac{1}{n^3} \end{equation*}
    2. Exprimez le reste correspondant \(R_3=S-S_3\) sous forme de somme de série.
    3. Comme la fonction donnant le terme général \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}\) est continue, positive et décroissante sur \(\displaystyle[1\,;\,+\infty]\text{,}\) cette série satisfait les conditions du test de l'intégrale : estimez l'erreur commise dans l'approximation \(\displaystyle S\approx S_3\text{.}\)
    4. Déduisez des questions précédentes un encadrement pour l'estimation de la somme de la série \(S\text{.}\)
    5. Cette somme de série \(S\) est un nombre irrationnel connu sous le nom de Constante d'Apéry. Votre estimation est-elle conforme au développement décimal présenté dans le site de l'OEIS?

    6. Utilisez l'application pour calculer les sommes partielles afin de vérifier que l'approximation de \(S\text{...}\)

      • par \(S_{20}\) a deux décimales correctes;
      • par \(S_{150}\) a quatre décimales correctes;
      • par \(S_{999}\) a six décimales correctes.

  4. Dans l'exemple 4 page 42, on s'intéresse à la somme de la série suivante :

    \begin{equation*} S=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!} \end{equation*}
    1. Calculez la valeur exacte de la somme partielle suivante :
      \begin{equation*} S_6=\sum_{n=0}^6\frac{(-1)^n}{n!} \end{equation*}
    2. Exprimez le reste correspondant \(R_6=S-S_6\) sous forme de somme de série.
    3. Il s'agit d'une série alternée : estimez l'erreur commise dans l'approximation \(\displaystyle S\approx S_6\text{.}\)
    4. Déduisez des questions précédentes un encadrement pour l'estimation de la somme de la série \(S\text{.}\)
    5. Grâce à la théorie des sommes de Taylor (voir le point suivant), on sait que cette somme de série \(S\) vaut exactement \(\displaystyle e^{-1}\text{.}\) Votre estimation est-elle conforme?

  5. Dans l'exemple 2 page 70, on s'intéresse à la série suivante :

    \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} \end{equation*}

    1. Montrez que cette série converge pour tout \(x\in\mathbb{R}\text{.}\)

      Le but principal des questions suivantes est de déterminer la fonction somme.

    2. Déduisez de la question précédente que
      \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{x^n}{n!}=0\qquad \forall x\in\mathbb{R} \end{equation*}

    3. On note \(f(x)=e^x\) la fonction exponentielle et on admet qu'elle vérifie les propriétés suivantes :

      \begin{equation*} f'(x)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}\qquad\mbox{ et }\qquad f(0)=1 \end{equation*}

      Combien vaut \(f^{(n)}(0)\) pour \(n\in\mathbb{N}\text{?}\)

    4. Vérifiez que la série ci-dessus n'est autre que la série de Taylor de \(f\) centrée en \(0\) (on parle de série de Maclaurin).
    5. Utilisez l'application afin d'expliciter les quatre premiers polynômes de Taylor \(T_0(x), T_1(x), T_2(x)\) et \(T_3(x)\) de \(f\) centrés en \(0\text{,}\) puis représentez-les graphiquement en même temps que \(f\) à l'aide de Desmos.
    6. Pour ce point, on s'intéresse plus particulièrement à \(T_3(x)\) (somme partielle jusqu'à \(n=3\)). Si on approche \(f(x)=e^x\) par \(T_3(x)\text{,}\) on commet l'erreur \(R_3(x)=f(x)-T_3(x)\text{.}\) Donnez-en une estimation sur l'intervalle \([-1\,;\,1]\text{.}\)
    7. Plus généralement, donnez une estimation de l'erreur \(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\) lorsque \(|x|\leq d\) pour un entier \(n\) et un réel positif \(d\) quelconques.

    8. Utilisez l'estimation précédente pour en conclure que la fonction \(f(x)=e^x\) est égale à la somme de sa série de Maclaurin pour tout \(x\in\mathbb{R}\text{,}\) c'est-à-dire que

      \begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\qquad\forall x\in\mathbb{R} \end{equation*}

      Remarques :

      • Le fait qu'une fonction soit égale à la somme de sa série de Taylor n'est pas anodin. Il est notamment possible de construire une fonction non nulle dont la série de Maclaurin est nulle.
      • La démarche adoptée au dernier point dans le solutionnaire est très légèrement différente de celle choisie par le volume. En prenant \(\displaystyle\frac{e^dd^{n+1}}{(n+1)!}\) comme estimation au lieu de \(\displaystyle\frac{e^d|x|^{n+1}}{(n+1)!}\text{,}\) on démontre que le reste tend vers 0 uniformément sur l'intervalle \([-d\,;\,d]\text{.}\) C'est-à-dire que le contrôle qu'on a s'applique à tous les \(x\) de l'intervalle en même temps. Ce concept est fondamental lorsqu'on veut prouver que la fonction somme d'une série entière est continue.