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Section 3.3 Les cylindres et les surfaces quadriques

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Prendre la trace d'une surface 3D dans un plan \(z=k\text{,}\) c'est remplacer la variable \(z\) par la constante \(k\) dans l'équation qui la définit, puis étudier l'objet 2D obtenu.

On s'intéresse à la surface d'équation

\begin{equation*} z=x^2+y^2\text{.} \end{equation*}
  1. Décrivez la trace de cette surface dans le plan horizontal \(z=1\text{.}\)
  2. Décrivez la trace de cette surface dans le plan horizontal \(z=3\text{.}\)
  3. Décrivez la trace de cette surface dans le plan horizontal \(z=0\text{.}\)
  4. Décrivez la trace de cette surface dans le plan horizontal \(z=-2\text{.}\)
  5. Décrivez la trace de cette surface dans le plan vertical \(x=0\text{.}\)
  6. Décrivez la trace de cette surface dans le plan vertical \(y=0\text{.}\)
  7. Esquissez la représentation graphique de cette surface.
Réponse
  1. Cercle d'équation \(x^2+y^2=1\text{,}\) de centre \((x=0\,;\,y=0\,;\,z=1)\) et de rayon \(1\text{.}\)
  2. Cercle d'équation \(x^2+y^2=3\text{,}\) de centre \((x=0\,;\,y=0\,;\,z=3)\) et de rayon \(\sqrt{3}\text{.}\)
  3. Équation \(x^2+y^2=0\text{,}\) donc un seul point \((x=0\,;\,y=0\,;\,z=0)\text{.}\)
  4. Équation \(x^2+y^2=-2\) sans solution, donc trace inexistante.
  5. Parabole d'équation \(z=y^2\) de sommet \((x=0\,;\,y=0\,;\,z=0)\text{.}\)
  6. Parabole d'équation \(z=x^2\) de sommet \((x=0\,;\,y=0\,;\,z=0)\text{.}\)
  7. Voici le résultat avec GeoGebra 3D : traces avec GeoGebra.

Les surfaces définies par une équation quadratique à trois variables \((x\,;\,y\,;\,z)\)

\begin{equation*} Ax^2+By^2+Cz^2+Exy+Fyz+Gzx+Hx+Iy+Jz+K=0 \end{equation*}

s'appellent des quadriques.

Leurs traces horizontales et verticales sont des coniques.

La technique de la complétion du carré et un peu de géométrie permettent de se ramener à l'une des situations suivantes :

  1. Cylindres : si l'une des variables est absente.
  2. Ellipsoïdes : \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
  3. Paraboloïdes elliptiques : \(\displaystyle\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)
  4. Paraboloïdes hyperboliques : \(\displaystyle\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\)
  5. Hyperboloïdes à une nappe : \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
  6. Hyperboloïdes à deux nappes : \(\displaystyle-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
  7. Cônes : \(\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)

Utilisez un outil informatique pour visualiser ces différents types de courbes.

Réponse

Voici comment faire avec GeoGebra 3D : types de quadriques avec GeoGebra.

Esquissez la surface d'équation \(z=x^2\text{.}\)

Réponse

La variable \(y\) étant absente, il s'agit d'un cylindre d'axe l'axe des \(y\text{.}\)

Dans tous les plans \(y=k\text{,}\) la trace de cette surface a pour équation \(z=x^2\) qui donne une parabole.

On appelle cette surface un cylindre parabolique.

Voici comment le représenter avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Esquissez les surfaces suivantes.

  1. \(\displaystyle \displaystyle x^2+y^2=1\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle y^2+z^2=1\)
Réponse

  1. C'est un cylindre circulaire dont l'axe est l'axe des \(z\text{.}\)

  2. C'est un cylindre circulaire dont l'axe est l'axe des \(x\text{.}\)

Voici comment représenter ces deux cylindres avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Utilisez des traces pour esquisser la surface quadrique d'équation \(x^2+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1\text{.}\)

Réponse

Voici comment représenter cette surface avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Toutes les traces dans les plans \(x=k\text{,}\) \(y=k\) et \(z=k\) sont des ellipses.

Ce type de quadrique s'appelle un ellipsoïde.

Utilisez des traces pour esquisser la surface quadrique d'équation \(z=4x^2+y^2\text{.}\)

Réponse

Voici comment représenter cette surface avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Les traces dans les plans \(x=k\) et \(y=k\) sont des paraboles.

Les traces dans les plans \(z=k\) sont des ellipses.

Ce type de quadrique s'appelle paraboloïde elliptique.

Utilisez des traces pour esquisser la surface quadrique d'équation \(z=y^2-x^2\text{.}\)

Réponse

Voici comment représenter cette surface avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Les traces dans les plans \(x=k\) et \(y=k\) sont des paraboles.

Les traces dans les plans \(z=k\) sont des hyperboles.

Ce type de quadrique s'appelle un paraboloïde hyperbolique.

Utilisez des traces pour esquisser la surface quadrique d'équation \(\frac{x^2}{4}+y^2-\frac{z^2}{4}=1\text{.}\)

Réponse

Voici comment représenter cette surface avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Les traces dans les plans \(x=k\) et \(y=k\) sont des hyperboles.

Les traces dans les plans \(z=k\) sont des ellipses.

Ce type de quadrique s'appelle hyperboloïde à une nappe.

Utilisez des traces pour esquisser la surface quadrique d'équation \(4x^2-y^2+2z^2+4=0\text{.}\)

Réponse

Voici comment représenter cette surface avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Les traces dans les plans \(x=k\) et \(z=k\) sont des hyperboles.

Les traces dans les plans \(y=k\) sont des ellipses.

Ce type de quadrique s'appelle hyperboloïde à deux nappes.

Utilisez des traces pour esquisser la surface quadrique d'équation \(z^2=4x^2+y^2\text{.}\)

Réponse

Voici comment représenter cette surface avec GeoGebra 3D : GeoGebra.

Les traces dans les plans \(x=k\) et \(y=k\) sont des hyperboles, sauf pour \(k=0\) qui donne des paires de droites.

Les traces dans les plans \(z=k\) sont des ellipses.

Ce type de quadrique s'appelle un cône.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Ce qui suit ne concerne que la session hiver 2018 :

Complétez ce document. En voici le solutionnaire.

Le code qui suit produit une application qui trace tous les types de quadriques en 3D.