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Section 2.2 Le développement des fonctions en séries entières

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Représentez les fonctions suivantes comme sommes de séries entières en précisant l'intervalle de convergence.

  1. \(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{x+2}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\frac{x^3}{x+2}\)
Réponse
  1. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}\) sur \(]-1;1[\text{.}\)
  2. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}x^n\) sur \(]-2;2[\text{.}\)
  3. \(\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-2}}x^n\) sur \(]-2;2[\text{.}\)

Exprimez

\begin{equation*} \frac{1}{(1-x)^2} \end{equation*}

comme la somme d'une série entière en dérivant terme à terme le développement de \(\frac{1}{1-x}\text{.}\)

Réponse

\(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n\) sur \(]-1;1[.\)

Exprimez

\begin{equation*} \ln(1-x) \end{equation*}

comme la somme d'une série entière en intégrant terme à terme le développement de \(\frac{1}{1-x}\text{.}\)

Réponse

\(\displaystyle\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\) sur \(]-1;1[.\)

Trouvez une représentation en série entière de \(f(x)=\arctan(x)\text{.}\)

Réponse

\(\displaystyle\arctan(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) sur \(]-1;1]\text{.}\)

  1. Développez \(\displaystyle\int\frac{1}{1+x^7}dx\) en série entière.
  2. Déduisez-en une valeur arrondie de \(I=\displaystyle\int_0^{0,5}\frac{1}{1+x^7}dx\) à 6 décimales.
Réponse
  1. \(\displaystyle C+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}\) sur \(]-1;1[\text{.}\)
  2. \(I\approx 0{,}499\,514\text{.}\)

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 6, 12, 20, 22, 30, 34 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Outils 2.2.1. Séries entières et combinatoire.

La technique des fonctions génératrices permet d'utiliser les séries entières pour résoudre certains problèmes de combinatoire.

Par exemple, le nombre de façons de décomposer \(237\) comme somme de cinq entiers positifs correspond au coefficient de \(x^{237}\) dans le développement en série entière de la fonction \(\displaystyle\frac{x^5}{(1-x)^5}\text{.}\)

Après cinq dérivations de \(\frac{1}{1-x}\) et une multiplication par \(x^5\text{,}\) on obtient

\begin{equation*} \frac{x^5}{(1-x)^5}=\sum_{k=5}^{+\infty}\frac{(k-4)(k-3)(k-2)(k-1)}{24}x^k. \end{equation*}

La réponse est donc

\begin{equation*} \displaystyle\frac{233\cdot 234\cdot 235\cdot 236}{24}=125\,991\,255. \end{equation*}