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Section 4 Coordonnées polaires (6.3)

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Les points ci-après sont donnés en coordonnées polaires \((r,\theta)\text{.}\) Représentez-les graphiquement.

  1. \(\displaystyle \displaystyle A=\left(2\,;\,\frac{\pi}{2}\right)\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle B=\left(2\,;\,\frac{2\pi}{3}\right)\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle C=\left(-2\,;\,\frac{2\pi}{3}\right)\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle D=\left(2\,;\,-5\pi\right)\)
Réponse

Les quatre points sont situés sur le cercle de rayon \(2\) centré à l'origine.

Voici leur représentation avec Desmos : Desmos.

Les points ci-après sont donnés en coordonnées polaires \((r,\theta)\text{.}\) Calculez leurs coordonnées cartésiennes en utilisant les formules de conversion suivantes :

\begin{equation*} x=r\cos\theta\qquad\mbox{et}\qquad y=r\sin\theta \end{equation*}
  1. \(\displaystyle \displaystyle\left(2\,;\,\frac{5\pi}{4}\right)\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\left(2\,;\,\frac{13\pi}{4}\right)\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\left(2\,;\,-\frac{3\pi}{4}\right)\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle\left(-2\,;\,\frac{\pi}{4}\right)\)
Réponse

Les quatre points sont les mêmes et admettent \((-\sqrt{2}\,;\,-\sqrt{2})\) comme coordonnées cartésiennes.

Si un point admet \((x\,;\,y)\) comme coordonnées cartésiennes et que \(x\) est différent de zéro, alors tout couple de coordonnées polaires \((r,\theta)\) tel que \(r\) est positif vérifie :

\begin{equation*} r=\sqrt{x^2+y^2}\qquad\mbox{et}\qquad\tan\theta=\frac{y}{x} \end{equation*}

Ceci permet de calculer \(r\) directement. Malheureusement, la formule \(\arctan(y/x)\) ne donne pas toujours une valeur de \(\theta\) adéquate.

Représentez graphiquement chacun des points ci-après, calculez \(\sqrt{x^2+y^2}\) et \(\arctan(y/x)\text{,}\) et indiquez si les valeurs obtenues fournissent un couple de coordonnées polaires valides.

  1. \(\displaystyle (1\,;\,\sqrt{3})\)
  2. \(\displaystyle (-1\,;\,\sqrt{3})\)
  3. \(\displaystyle (1\,;\,-\sqrt{3})\)
  4. \(\displaystyle (-1\,;\,-\sqrt{3})\)
Réponse

Voici comment représenter ces quatre points avec Desmos : Desmos.

  1. \(\sqrt{x^2+y^2}=2\) et \(\arctan(y/x)=\frac{\pi}{3}\) donnent des coordonnées polaires valides.
  2. \(\sqrt{x^2+y^2}=2\) et \(\arctan(y/x)=-\frac{\pi}{3}\) donnent des coordonnées polaires non valides.
  3. \(\sqrt{x^2+y^2}=2\) et \(\arctan(y/x)=-\frac{\pi}{3}\) donnent des coordonnées polaires valides.
  4. \(\sqrt{x^2+y^2}=2\) et \(\arctan(y/x)=\frac{\pi}{3}\) donnent des coordonnées polaires non valides.

On remarque que dans les deux cas où on n'obtient pas des coordonnées polaires valides, \(x\) est négatif et il suffit de prendre \(\pi+\arctan(y/x)\) pour obtenir le bon \(\theta\text{.}\)

Avec ce qu'on vient de remarquer dans l'exercice précédent, on est en mesure de définir un algorithme de conversion des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. On en profite pour l'appliquer au point \((-1\,;\,\sqrt{3})\text{.}\)

Les points ci-après sont donnés en coordonnées cartésiennes. Représentez-les graphiquement, puis donnez l'unique couple de coordonnées polaires \((r\,;\,\theta)\) vérifiant \(r>0\) et \(\theta\in]-\pi\,;\,\pi]\text{.}\)

  1. \(\displaystyle \displaystyle\left(1\,;\,1\right)\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\left(1\,;\,-1\right)\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\left(-3\,;\,3\right)\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle\left(-2\,;\,-3\right)\)
Réponse
  1. \(\displaystyle \displaystyle\left(\sqrt{2}\,;\,\frac{\pi}{4}\right)\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\left(\sqrt{2}\,;\,-\frac{\pi}{4}\right)\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\left(3\sqrt{2}\,;\,\frac{3\pi}{4}\right)\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle\left(\sqrt{13}\,;\,\arctan\left(\frac{3}{2}\right)-\pi\right)\)

L'équation polaire \(r=2\cos\theta\) définit une courbe du plan.

  1. Parmi les coordonnées polaires \((r\,;\,\theta)\) qui suivent, indiquez celles qui définissent des points appartenant à la courbe :
    \begin{equation*} \left(1\,;\,\frac{\pi}{3}\right)\qquad\left(\sqrt{2}\,;\,\frac{3\pi}{4}\right)\qquad\left(-\sqrt{2}\,;\,\frac{3\pi}{4}\right)\qquad\left(0\,;\,\frac{\pi}{2}\right) \end{equation*}
  2. Construisez les points de la courbe correspondant aux valeurs de \(\theta\) suivantes :
    \begin{equation*} 0\qquad\frac{\pi}{6}\qquad\frac{\pi}{2}\qquad\frac{5\pi}{6}\qquad\pi \end{equation*}
  3. Pourquoi suffit-il de construire les points correspondant aux valeurs de \(\theta\) appartenant à \([0\,;\,\pi[\text{?}\)
  4. Parmi les coordonnées cartésiennes \((x\,;\,y)\) qui suivent, indiquez celles qui définissent des points appartenant à la courbe :
    \begin{equation*} \left(2\,;\,0\right)\qquad\left(-2\,;\,0\right)\qquad\left(0\,;\,1\right)\qquad\left(0\,;\,0\right) \end{equation*}
  5. Montrez que l'équation cartésienne de cette courbe peut s'écrire \((x-1)^2+y^2=1\text{.}\)
  6. Décrivez cette courbe en mots.
Réponse
  1. \begin{equation*} \left(1\,;\,\frac{\pi}{3}\right)\qquad\left(-\sqrt{2}\,;\,\frac{3\pi}{4}\right)\qquad\left(0\,;\,\frac{\pi}{2}\right) \end{equation*}
  2. Voici le résultat avec Desmos : Desmos.

  3. Essentiellement, c'est parce que \(\cos(\theta+\pi)=-\cos(\theta)\) pour tout \(\theta\text{.}\) En effet, cela entraîne que les points de la courbe obtenus pour \(\theta\) et \(\theta+\pi\) sont les mêmes.

    Par exemple, \(\theta=\frac{\pi}{6}\) donne \(r=2\cos(\pi/6)=\sqrt{3}\) alors que \(\theta=\frac{\pi}{6}+\pi\) donne \(r=2\cos(7\pi/6)=-\sqrt{3}\text{.}\) Et les coordonnées polaires \((\sqrt{3}\,;\,\pi/6)\) et \((-\sqrt{3}\,;\,7\pi/6)\) correspondent au même point.

  4. \begin{equation*} \left(2\,;\,0\right)\qquad\left(0\,;\,0\right) \end{equation*}

  5. On note que \(r=0\) si et seulement si \(x=y=0\text{,}\) et que le point correspondant appartient à la fois à la courbe polaire \(r=2\cos\theta\) et la courbe cartésienne \((x-1)^2+y^2=1\text{.}\)

    Pour \(r\neq 0\text{,}\) l'équation est équivalente à \(r^2=2r\cos\theta\) après multiplication par \(r\text{,}\) c'est-à-dire à \(x^2+y^2=2x\text{.}\)

    Après complétion du carré, on obtient bien \((x-1)^2+y^2=1\text{.}\)

    La courbe polaire \(r=2\cos\theta\) et la courbe cartésienne \((x-1)^2+y^2=1\) sont donc constituées des mêmes points.

  6. C'est le cercle de centre \((1\,;\,0)\) et de rayon \(1\text{.}\)
Esquissez la courbe polaire \(r=1+\sin\theta\text{.}\)
Réponse

Voici comment faire cela avec Desmos : courbe polaire avec Desmos.

Notez que la lettre grecque \(\theta\) s'obtient en tapant theta.

Utilisez un outil informatique pour représenter les courbes polaires qui suivent.

  1. \(\displaystyle r=\cos(2\theta)\)
  2. \(\displaystyle r=\sin(8\theta/5)\)
  3. \(r=1+c\sin\theta\) où \(c\in\mathbb{R}\)
Réponse

Voici comment faire cela avec Desmos : courbes polaires avec Desmos.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 2, 4, 6, 8, 10, 12, 69, 70, 71 et 74 de la section 6.3 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.