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Section 1.4 Les séries alternées

Essayez de résoudre les exercices qui suivent.

Pour chacune des séries suivantes, calculez les cinq premières sommes partielles et dire si elle est alternée.

  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(n\pi)}{\sqrt{n}}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\sin(n)}{n^2}\)
Réponse

  1. \(S_0=-1\) ; \(S_1=-0{,}5\) ; \(S_2\approx -0{,}83\) ; \(S_3\approx -0{,}58\) ; \(S_4\approx -0{,}78\)

    C'est une série alternée.

  2. \(S_1=-1\) ; \(S_2\approx -0{,}29\) ; \(S_3\approx -0{,}87\) ; \(S_4\approx -0{,}37\) ; \(S_5\approx -0{,}82\)

    C'est une série alternée.

  3. \(S_2\approx 0{,}16\) ; \(S_3\approx 0{,}24\) ; \(S_4\approx 0{,}20\) ; \(S_5\approx 0{,}16\) ; \(S_6\approx 0{,}15\)

    Ce n'est pas une série alternée.

Appliquez le test de convergence pour les séries alternées afin de déterminer si les séries suivantes convergent.

  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}n^2}{n^3+1}\)
Réponse
  1. Elle converge.
  2. Elle converge.

Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{3n}{4n-1}\text{?}\)

Réponse

Elle diverge par le test de divergence.

On s'intéresse à la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\text{.}\) Estimez l'erreur produite lorsqu'on approche la somme de cette série par sa somme partielle \(S_6\text{.}\)

Réponse

On a \(|\text{Erreur}|\leq 0{,}000\,2\text{.}\)

Plus précisément, on a \(-0{,}000\,2\leq \text{Erreur}\leq 0\) car le premier terme négligé est négatif.

Voici comment répondre aux exercices qui précèdent.

Si vous souhaitez en faire plus ou disposer de plus d'exemples, vous pouvez consulter les exercices 6, 8, 16, 24, 28, 32 dont voici les solutions.

Vous pouvez maintenant résoudre les exercices prioritaires de cette section.

Outils 1.4.1. \(e\) est irrationnel.

Pour tout nombre réel \(x\text{,}\) le nombre \(e^x\) est défini comme la somme de la série suivante :

\begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n}. \end{equation*}

Une fois qu'on sait majorer l'erreur d'approximation d'une série alternée par ses sommes partielles, on dispose de tous les outils nécessaires pour démontrer que \(e\) est irrationnel.

Indication

Remarquez d'abord que \(e\) est irrationnel si et seulement si \(\frac{1}{e}\) est irrationnel.

Solution

Voir ce lien.