Calcul avancé

Notons \(r\) le rayon de la nappe en \(\mathrm{km}\) et

son aire en \(\mathrm{km}^2\text{,}\) de sorte que

par la règle de dérivation en chaîne.

Selon l'énoncé, on est rendu à un moment de la catastrophe où

On a donc

1. Au premier niveau, \(z\) dépend de \(x\) et de \(y\text{,}\) ce qui donne deux branches issues du sommet \(z\text{.}\)

   Au deuxième niveau, on a une seule branche de \(x\) (resp. \(y\)) vers \(t\text{,}\) car \(x\) (resp. \(y\)) ne dépend que de \(t\text{.}\)

   On obtient donc l'arbre de dépendance suivant :

   

2. La règle de dérivation en chaîne donne

   \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ &=2x\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{2y}{9}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ &=2x\cdot(2\cos(2t))+\frac{2y}{9}\cdot(-\sin(t))\\ &=2\sin(2t)\cdot(2\cos(2t))+\frac{2\cos(t)}{9}\cdot(-\sin(t))\\ &=4\sin(2t)\cos(2t)-\frac{2}{9}\sin(t)\cos(t). \end{align*}

3. Après substitution, on obtient

   \begin{align*} z&=x^2+\frac{y^2}{9}\\ &=(\sin(2t))^2+\frac{(\cos(t))^2}{9}\\ &=\sin^2(2t)+\frac{1}{9}\cos^2(t). \end{align*}

   Donc on a

   \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sin^2(2t)+\frac{1}{9}\cos^2(t)\right)\\ &=2\sin(2t)\cdot\cos(2t)\cdot 2+\frac{1}{9}\cdot 2\cos(t)\cdot(-\sin(t))\\ &=4\sin(2t)\cos(2t)-\frac{2}{9}\sin(t)\cos(t) \end{align*}

   comme à la question précédente.

4. Lorsque \(t=0\text{,}\) on a

   \begin{align*} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sin(2t)\right)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=2\cos(2t)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=2\cos(0)\\ &=2\cdot 1\\ &=2 \end{align*}

   \begin{align*} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\cos(t)\right)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=-\sin(t)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=-\sin(0)\\ &=-0\\ &=0 \end{align*}
   et
   \begin{align*} x\Bigg\rvert_{t=0}&=\sin(2t)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=\sin(0)\\ &=0 \end{align*}

   \begin{align*} y\Bigg\rvert_{t=0}&=\cos(t)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=\cos(0)\\ &=1 \end{align*}
   donc
   \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}&=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=\left(2x\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{2y}{9}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=2\cdot x\Bigg\rvert_{t=0}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}+\frac{2}{9}\cdot y\Bigg\rvert_{t=0}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}\\ &=2\cdot 0\cdot 2+\frac{2}{9}\cdot 1\cdot 0\\ &=0. \end{align*}

5. Au temps \(t=0\,\mathrm{s}\text{,}\) le point se situe à la position

   \begin{equation*} (x,y,z)=(0,1,1/9). \end{equation*}

   Ses vitesses horizontales selon les axes des \(x\) et des \(y\) valent respectivement

   \begin{equation*} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\quad\text{et}\quad\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \end{equation*}

   tandis que sa vitesse verticale vaut

   \begin{equation*} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=0}=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. \end{equation*}

1. • Pour commencer, on applique le logarithme naturel :

     \begin{align*} \ln y&=\ln\left((\sin x)^{x^2}\right)\\ &=x^2\ln(\sin x). \end{align*}

   • Ensuite, on dérive par rapport à \(x\) :

     \begin{align*} \frac{1}{y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln y)\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2\cdot\ln(\sin x))\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)\cdot\ln(\sin x))+x^2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(\sin x))\\ &=2x\cdot\ln(\sin x))+x^2\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x\\ &=2x\ln(\sin x))+x^2\cot x. \end{align*}

   • Enfin, on multiplie par \(y\) :

     \begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=y\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln y)\\ &=y\cdot(2x\ln(\sin x))+x^2\cot x)\\ &=(\sin x)^{x^2}(2x\ln(\sin x))+x^2\cot x). \end{align*}

2. Les variables \(x,y,u,v\) sont liées comme suit :

   \begin{equation*} y=u^v\quad\text{avec}\quad u=\sin x\quad\text{et}\quad v=x^2. \end{equation*}

   Cela donne l'arbre de dépendance suivant :

   
   Par la règle de dérivation en chaîne, on a donc
   \begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\partial y}{\partial u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+\frac{\partial y}{\partial v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\\ &=vu^{v-1}\cdot\cos x+u^v\ln u\cdot 2x\\ &=x^2(\sin x)^{x^2-1}\cdot\cos x+(\sin x)^{x^2}\ln(\sin x)\cdot 2x\\ &=(\sin x)^{x^2}(x^2\cot x+2x\ln(\sin x)) \end{align*}

   conformément au calcul effectué plus haut par dérivation logarithmique.

1. Les variables sont liées de la façon suivante :

   
   Par la règle de dérivation en chaîne, on a donc
   \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{xy^2}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t\cos t)+\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{xy^2}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t\sin t)\\ &=e^{xy^2}y^2\cdot(\cos t+t(-\sin t))+e^{xy^2}2xy\cdot(\sin t+t\cos t)\\ &=ye^{xy^2}\left(y(\cos t-t\sin t)+2x(\sin t+t\cos t)\right). \end{align*}

   Lorsque \(t=\dfrac{\pi}{2}\text{,}\) on a

   \begin{equation*} x=\frac{\pi}{2}\cdot\underbrace{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}_{=0}=0\quad\text{et}\quad y=\frac{\pi}{2}\cdot\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}_{=1}=\frac{\pi}{2} \end{equation*}

   donc

   \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\Bigg\rvert_{t=\frac{\pi}{2}}&=\frac{\pi}{2}\cdot\underbrace{e^{0}}_{=1}\cdot\left(\frac{\pi}{2}\cdot\left(\underbrace{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}_{=0}-\frac{\pi}{2}\cdot\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}_{=1}\right)+\cancel{2\cdot 0\cdot\ldots}\right)\\ &=-\frac{\pi^3}{8}. \end{align*}

2. Les variables sont liées de la façon suivante :

   
   Par la règle de dérivation en chaîne, on a donc
   \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial v}&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial v}\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\tan\left(\frac{x}{y}\right)\right)\cdot\frac{\partial}{\partial v}(2u+3v)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\tan\left(\frac{x}{y}\right)\right)\cdot\frac{\partial}{\partial v}(3u-2v)\\ &=\sec^2\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{1}{y}\cdot 3+\sec^2\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\left(-\frac{x}{y^2}\right)\cdot(-2)\\ &=\sec^2\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{3y+2x}{y^2}. \end{align*}

   Lorsque \((u,v)=(3,-2)\text{,}\) on a

   \begin{equation*} x=2\cdot 3+3\cdot(-2)=0\quad\text{et}\quad y=3\cdot 3-2\cdot(-2)=13 \end{equation*}

   donc

   \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial v}\Bigg\rvert_{(u,v)=(3,-2)}&=(\underbrace{\sec(0)}_{=1})^2\cdot\frac{3\cdot 13+2\cdot 0}{13^2}\\ &=\frac{3}{13}. \end{align*}

3. Les variables sont liées de la façon suivante :

   
   Par la règle de dérivation en chaîne, on a donc
   \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial t}&=\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial t}\\ &=\frac{\partial}{\partial v}\left(w\arctan(uv)\right)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(s+t)+\frac{\partial}{\partial w}\left(w\arctan(uv)\right)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(t+r)\\ &=w\cdot\frac{1}{1+(uv)^2}\cdot u\cdot 1+\arctan(uv)\cdot 1\\ &=\frac{uw}{1+u^2v^2}+\arctan(uv). \end{align*}

   Lorsque \(r=1\text{,}\) \(s=0\) et \(t=1\text{,}\) on a

   \begin{equation*} u=1+0=1,\quad v=0+1=1\quad\text{et}\quad w=1+1=2 \end{equation*}

   donc

   \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial t}\Bigg\rvert_{(r,s,t)=(1,0,1)}&=\frac{1\cdot 2}{1+1^21^2}+\arctan(1\cdot 1)\\ &=\frac{2}{2}+\arctan(1)\\ &=1+\frac{\pi}{4}. \end{align*}

On s'intéresse aux dérivées partielles de la variable

où

On a l'arbre de dépendance suivant :

Avant d'évaluer, notons que

si bien que seules les valeurs

nous seront utiles.

• D'une part, la règle de dérivation en chaîne entraîne

  \begin{align*} g_u&=\frac{\partial z}{\partial u}\\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial u}\\ &=f_x\cdot\frac{\partial}{\partial u}(5u+3v-1)+f_y\cdot\frac{\partial}{\partial u}(8u-6v+3)\\ &=f_x\cdot 5+f_y\cdot 8 \end{align*}

  d'où

  \begin{align*} g_u(0,0)&=f_x(-1,3)\cdot 5+f_y(-1,3)\cdot 8\\ &=(-5)\cdot 5+4\cdot 8\\ &=7. \end{align*}

• D'autre part, la règle de dérivation en chaîne entraîne

  \begin{align*} g_v&=\frac{\partial z}{\partial v}\\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial v}\\ &=f_x\cdot\frac{\partial}{\partial v}(5u+3v-1)+f_y\cdot\frac{\partial}{\partial v}(8u-6v+3)\\ &=f_x\cdot 3+f_y\cdot(-6) \end{align*}

  d'où

  \begin{align*} g_v(0,0)&=f_x(-1,3)\cdot 3+f_y(-1,3)\cdot(-6)\\ &=(-5)\cdot 3+4\cdot(-6)\\ &=-39. \end{align*}

• Voici l'arbre de dépendance des variables :

  
  Par la règle de dérivation en chaîne, on a donc
  \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial r}&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial r}\\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial}{\partial r}(r^2+s^2)+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial}{\partial r}(2rs)\\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot 2r+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot 2s\\ &=2r\frac{\partial z}{\partial x}+2s\frac{\partial z}{\partial y}. \end{align*}

• Partant du calcul précédent, on obtient

  \begin{align*} \frac{\partial^2z}{\partial r^2}&=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial r}\left(2r\frac{\partial z}{\partial x}+2s\frac{\partial z}{\partial y}\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial r}(2r)\cdot\frac{\partial z}{\partial x}+2r\cdot\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)+2s\cdot\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\\ &=2\frac{\partial z}{\partial x}+2r\underbrace{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_{A}+2s\underbrace{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_{B}. \end{align*}

  Pour déterminer \(A\) et \(B\text{,}\) il suffit d'appliquer le point précédent aux fonctions \(\frac{\partial z}{\partial x}\) et \(\frac{\partial z}{\partial y}\text{,}\) à la place de la fonction \(z\text{.}\) Cela donne

  \begin{align*} A&=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\\ &=2r\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)+2s\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\\ &=2r\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+2s\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x} \end{align*}

  \begin{align*} B&=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\\ &=2r\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)+2s\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\\ &=2r\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}+2s\frac{\partial^2z}{\partial y^2} \end{align*}
  d'où
  \begin{align*} \frac{\partial^2z}{\partial r^2}&=2\frac{\partial z}{\partial x}+2rA+2sB\\ &=2\frac{\partial z}{\partial x}+4r^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+4rs\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}+4rs\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}+4s^2\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\\ &=2\frac{\partial z}{\partial x}+4r^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+8rs\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}+4s^2\frac{\partial^2z}{\partial y^2} \end{align*}

  puisque

  \begin{equation*} \frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \end{equation*}

  par le théorème de Clairaut.

Si on note \(t\) le temps exprimé en secondes, les taux de variations fournis par l'énoncé sont

On cherche la valeur de

sachant en outre que

• Notons pour commencer que
  \begin{align*} \frac{1}{R}&=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\\ &=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}\\ &=\frac{R_2+R_1}{R_1R_2}. \end{align*}
  On a donc la formule
  \begin{equation*} R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \end{equation*}
  qui entraîne que
  \begin{equation*} R=\frac{3\cdot 5}{3+5}=1{,}875\,\mathrm{\Omega}. \end{equation*}

• Ensuite, la formule

  \begin{equation*} V=IR=\frac{IR_1R_2}{R_1+R_2} \end{equation*}

  implique l'arbre de dépendance

  
  dont on déduit la formule
  \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial V}{\partial I}\cdot\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial V}{\partial R_1}\cdot\frac{\mathrm{d}R_1}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial V}{\partial R_2}\cdot\frac{\mathrm{d}R_2}{\mathrm{d}t} \end{equation*}

  par la règle de dérivation en chaîne.

  • D'abord, on a

    \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial I}&=\frac{\partial}{\partial I}\left(I\cdot R\right)\\ &=R\\ &=1{,}875. \end{align*}

  • Ensuite, on trouve

    \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial R_1}&=\frac{\partial}{\partial R_1}\left(\frac{IR_1R_2}{R_1+R_2}\right)\\ &=IR_2\cdot\frac{\partial}{\partial R_1}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)\\ &=IR_2\cdot\frac{\frac{\partial}{\partial R_1}(R_1)\cdot(R_1+R_2)-R_1\cdot\frac{\partial}{\partial R_1}(R_1+R_2)}{(R_1+R_2)^2}\\ &=IR_2\cdot\frac{1\cdot(R_1+R_2)-R_1\cdot 1}{(R_1+R_2)^2}\\ &=IR_2\cdot\frac{R_2}{(R_1+R_2)^2}\\ &=\frac{IR_2^2}{(R_1+R_2)^2}\\ &=\frac{4\cdot 5^2}{(3+5)^2}\\ &=1{,}562\,5. \end{align*}

  • Puis, pour des raisons de symétrie, on obtient

    \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial R_2}&=\frac{IR_1^2}{(R_1+R_2)^2}\\ &=\frac{4\cdot 3^2}{(3+5)^2}\\ &=0{,}562\,5. \end{align*}

Finalement, en revenant à la formule donnée par la règle de dérivation en chaîne et en utilisant les valeurs données et celles qu'on a calculées, on trouve

On en conclut que la tension augmente au taux de

Introduisons les variables

Alors l'arbre de dépendance des variables \(a,b,z,t\) et

est le suivant :

• Quand on dérive une telle fonction \(U=F(a)+G(b)\) par rapport à \(z\text{,}\) la règle de dérivation en chaîne donne

  \begin{align*} \frac{\partial U}{\partial z}&=\frac{\partial U}{\partial a}\cdot\frac{\partial a}{\partial z}+\frac{\partial U}{\partial b}\cdot\frac{\partial b}{\partial z}\\ &=\frac{\partial}{\partial a}(F(a)+G(b))\cdot\frac{\partial}{\partial z}(z-ct)+\frac{\partial}{\partial b}(F(a)+G(b))\cdot\frac{\partial}{\partial z}(z+ct)\\ &=(F'(a)+0)\cdot 1+(0+G'(b)\cdot 1\\ &=F'(a)+G'(b). \end{align*}

  En appliquant le résultat précédent à la fonction

  \begin{equation*} V=F'(a)+G'(b) \end{equation*}

  au lieu de la fonction \(U\text{,}\) on obtient

  \begin{equation*} \frac{\partial V}{\partial z}=F''(a)+G''(b) \end{equation*}

  soit

  \begin{equation*} \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}=F''(a)+G''(b). \end{equation*}

• Quand on dérive une telle fonction \(U=F(a)+G(b)\) par rapport à \(t\text{,}\) la règle de dérivation en chaîne donne

  \begin{align*} \frac{\partial U}{\partial t}&=\frac{\partial U}{\partial a}\cdot\frac{\partial a}{\partial t}+\frac{\partial U}{\partial b}\cdot\frac{\partial b}{\partial t}\\ &=\frac{\partial}{\partial a}(F(a)+G(b))\cdot\frac{\partial}{\partial t}(z-ct)+\frac{\partial}{\partial b}(F(a)+G(b))\cdot\frac{\partial}{\partial t}(z+ct)\\ &=(F'(a)+0)\cdot (-c)+(0+G'(b)\cdot c\\ &=c\cdot(-F'(a)+G'(b)). \end{align*}

  En appliquant le résultat précédent à la fonction

  \begin{equation*} V=-F'(a)+G'(b) \end{equation*}

  au lieu de la fonction \(U\text{,}\) on obtient

  \begin{equation*} \frac{\partial V}{\partial t}=c\cdot(F''(a))+G''(b)) \end{equation*}

  d'où

  \begin{align*} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial U}{\partial t}\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial t}\left(c\cdot(-F'(a)+G'(b))\right)\\ &=c\cdot\frac{\partial}{\partial t}\left(-F'(a)+G'(b)\right)\\ &=c\cdot\frac{\partial V}{\partial t}\\ &=c\cdot c\cdot(F''(a))+G''(b)) \end{align*}

  soit

  \begin{equation*} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}=c^2(F''(a)+G''(b)). \end{equation*}

On a montré que

Cela prouve que \(U\) est bien solution de l'équation des ondes en dimension 1